Bài giải của hocmai.toanhoc (Tôi: Trịnh Hào Quang)
Ta đặt:
[TEX]I=\int\limits_0^{{\pi\over 2}} {{{{{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over{1 +\sin 2x}}dx}[/TEX] và [TEX]J=\int\limits_0^{{\pi \over 2}}{{{\cos x}\over{1 +\sin2x}}dx}[/TEX].
Ta thấy:
[TEX]J + I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}}{{{\cos x + {{\rm s}\nolimits}{\rm{inx}}} \over {1 + \sin 2x}}dx} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos x + {{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {\left({{{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + }}\cos x} \right)^2 }}dx\,} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}}{{1 \over {\cos x + {{\rm s}\nolimits}{\rm{inx}}}}dx\,} = {{\sqrt 2 } \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {{{\rm s}\nolimits} {\rm{in(x +}}{\pi\over 4})}}dx\,} \cr = \,\,{{\sqrt 2 } \over 2}\ln \left| {tg({x \over 2} + {\pi \over 8})} \right|\,\left| \matrix{{\pi \over 2} \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\, = \,\,{{\sqrt 2 } \over 2}\ln {{1 + tg^2 {\pi \over 8}} \over {1 - tg{\pi \over 8}}}\cr[/TEX]
Vậy ta có:
[TEX]I = \,{{\sqrt 2 } \over 4}\ln {{1 + tg^2 {\pi \over 8}} \over {1 - tg{\pi \over 8}}}[/TEX]
Chú ý: Mình đánh có chút lỗi chỗ pi/4 và pi/8 đấy! Các bạn để ý nhé!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
