Toán 12 Tích phân

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tích phân:

Cho dãy $I_n$ xác định bởi công thức $I_n=\int\limits_{n}^{n+1}\dfrac{x^{n-1}+1}{x^n+1}dx\;\;\;(n\in\mathbb{Z}^{+})$

a) Chứng minh: $0<I_n\le 1$

b) Chứng minh: $I_{n-1}\ge I_{n}$ với $n\ge 2$

Bài 2: Parabol:

Cho $x^2+y^2+xy=1\;\;(x,y\in\mathbb{R})$. Tìm GTLN, GTNN của: $A=x^2+2y^2-xy$

Bài 3: Ẩn phụ S,P:

Cho $x,y\in\mathbb{R}$ thoả $x^2+y^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của: $A=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$

Bài 4: Đơn điệu hàm số:

Cho $\Delta ABC$ nhọn. Chứng minh:

$\sin A + \sin B + \sin C +\tan A +\tan B +\tan C > 2\pi$

Bài 5: Miền giá trị:

Chứng minh với mọi $x\in\mathbb{R}$, ta có $\dfrac{2}{11}\le \dfrac{\cos x + 2 \sin x + 3}{2\cos x - \sin x +4} \le 2$

Bài 6: Định lý Lagrange:

Cho $p>1$ và $0<y\le x$. Chứng minh:

$py^{p-1}(x-y) \le x^p-y^p \le px^{p-1}(x-y)$

Bài 7: Bài này có lời giải rồi nhưng trong sách giải không hiểu gì hết (

Tìm $k$ để $y=\dfrac{k\sin x + 1}{\cos x + 2}$ có GTNN nhỏ hơn $-1$

 

[xuanquynh97]

Xét hs: $f(x) = sinx + tanx - 2x$ trên $(0,\pi/2)$

$f'(x) = cosx + \dfrac{1}{cos^2x} - 2 = \dfrac{cos³x - 2cos²x + 1}{cos²x}$

$= \dfrac{ (cosx - 1)(cos²x - cosx - 1)}{cos²x } >0$

(x \in $(0, \pi/2)$ $0 < cosx ≤ 1$; nên $cosx - 1 ≤ 0, cos²x - cosx - 1 ≤ 0)$

vậy $f(x)$ là hàm đồng biến trên $(0, \pi2)$

từ $x > 0 => f(x) > f(0) = 0$

\Rightarrow ta có: $sinx + tanx > 2x$ với $0 < x < \pi2$

với A, B, C là 3 góc nhọn ta có:

sinA + tanA > 2A

sinB + tanB > 2B

sinC + tanC > 2C

 

[trantien.hocmai]

$\text{câu cuối} \\
y=\frac{k\sin x+1}{\cos x+2} \leftrightarrow y\cos x+2y=k\sin x+1 \leftrightarrow k\sin x-y.\cos x=2y-1 \\
\text{điều kiện để phương trình này có nghiệm là} \\
(2y-1)^2 \le k^2+y^2 \le 0 \\
\Delta=12k^2+4 > 0 \rightarrow ...\\ \\
\frac{4-\sqrt{12k^2+4}}{6} \le y \le \frac{4+\sqrt{12k^2+4}}{6} \\
Miny=\frac{4-\sqrt{12k^2+4}}{6} \le -1 \leftrightarrow 10 \le \sqrt{12k^2+4} \\
\leftrightarrow 96 \le 12k^2 \leftrightarrow |k| \ge 2\sqrt{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Câu 6 em làm ra rồi

Xét $f(a)=a^p$ với $a\in [y;x]$

Theo định lý Lagrange: $f(x)-f(y) = f'(c).(x-y)=p.c^{p-1}(x-y)$ với $c\in (x;y)$

Suy ra điều phải chứng minh.

Dễ vậy mà 2 ngày mới làm ra.

 

[viethoang1999]

$A=x^2+2y^2-xy=\dfrac{x^2+2y^2-xy}{x^2+y^2+xy}$
$\bullet $ Xét $y=0$ ...
$\bullet $ Xét $y\ne 0$, chia cả tử và mẫu cho $y^2$ ta được:
$A=\dfrac{\left (\dfrac{x}{y} \right)^2+2-\dfrac{x}{y}}{\left (\dfrac{x}{y} \right)^2+1+\dfrac{x}{y}}=\dfrac{t^2+2-t}{t^2+1+t}$
với $t=\dfrac{x}{y}$

(Dùng phương pháp miền)
Tích chéo ta được:
$(A-1)t^2+(A+1)t+A-2=0$
+ Nếu $A=1$ ...
+ Nếu $A\ne 1$, \Rightarrow $\Delta = (A+1)^2-4(A-1)(A-2)=-3A^2+14A-7\ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3}\le A\le \dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}$