- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Mục tiêu của phương pháp thế biến này là giúp người giải tìm nhanh ra công thức của hàm f(x) từ một hệ thức liên hệ đã được đề bài cho trước.
Phương pháp này có thể sử dụng với 1 số bài tập dạng như sau đây:
Ví dụ 1: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [tex][\frac{1}{2};2][/tex] thỏa mãn:
f(x)+ 2f([TEX]\frac{1}{x}[/TEX])=3x.(1) Tính tích phân [tex]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{f(x)}{x}dx[/tex]
Lời giải : Ta thay biến x bằng biến [TEX]\frac{1}{x}[/TEX], như vậy ở hệ thức cũ, cứ chỗ nào có x thì ta thay nó bằng [TEX]\frac{1}{x}[/TEX].
Thu được: [tex]f(\frac{1}{x})+2f(\frac{1}{\frac{1}{x}})=3.(\frac{1}{x})<=>f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}(2)[/tex]
Từ (1) và (2) ta thu được hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} f(x)+2f(\frac{1}{x})=3x\\ f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x} \end{matrix}\right.[/tex]
Đến hệ này thì giải hoàn toàn thông thường . Ta nhân 2 pt thứ 2 rồi trừ cho pt thứ nhất để triệt tiêu [TEX]f(\frac{1}{x})[/TEX] và tìm ra hàm f(x). Ở đây ta thu được:
[tex]f(x)=\frac{2}{x}-x[/tex]
Vậy đến đây lấy được nguyên hàm bình thường rồi:
[tex]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{f(x)}{x}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(\frac{2}{x^2}-1)=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy mấu chốt của phương pháp này là: Với đề bài cho hệ thức liên hệ [tex]a.f(x)+b.f(g(x))= u[/tex](với g(x) và a,b,u là các đa thức của biến x). Ta thế biến x sao cho sau khi thế biến, hệ thức liên hệ vẫn chỉ gồm f(x) và f(g(x)) để lập được hệ phương trình và giải tìm f(x). Như vậy có thể nhận ra ở đây ta sẽ thế biến x=g(x) luôn, nếu sau khi thế vào không được hệ thức liên hệ vẫn chỉ gồm f(x) và f(g(x)) thì phương pháp này không sử dụng được. Và ta phải nghĩ tới cách khác.
Cụ thể nếu ở trên họ cho: [tex]f(x)+2f(\frac{1}{x-1})[/tex] , ta thế biến [TEX]x=\frac{1}{x-1}[/TEX] thì sẽ thu được
[TEX]f(\frac{1}{x-1})+2f(\frac{x-1}{2-x})[/TEX], như vậy là không dùng được cách này.
Ví dụ 2:
Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex]. Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Lời giải:
Thử xem có xài được thế biến không: Thế x=1-x ta có :
[tex](1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4[/tex]
Vậy là xài được rồi. Ta có hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\\ (1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4 \end{matrix}\right.[/tex]
Nhân cả 2 vế của pt (1) với [TEX](1-x)^2[/TEX] rồi trừ cho pt (2) để tính hàm f(x):
[tex][(1-x)^2.x^2-1]f(x)=(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4<=>(x^4-2x^3+x^2-1)f(x)=(1-x^2)(x^4-2x^3+x^2-1)<=>f(x)=1-x^2[/tex]
Đến đây thì dễ dàng tính được [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]
Ở bước bên trên, nếu các bạn thấy khó phân tích để tính ra hàm f(x), thì đơn giản nhìn đáp án đề cho, nếu các đáp án đều là hữu tỉ, thì có thể nhập cả đống bầy nhầy đấy vào cho máy tính tính phân mà không cần lo rút gọn. Vẫn sẽ ra kết quả.
Còn nếu là tự luận muốn phân tích chuẩn chỉnh thì chắc một số người cũng biết rồi, nhập vế trái vào casio: [tex](1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4[/tex] rồi bấm solve , ra nghiệm x=1 chẳng hạn, tiếp tục solve nhưng chia cho (x-1) để máy tìm nghiệm khác 1, đến khi ra nghiệm x=-1 thì biết nhân tử sẽ có [TEX](x-1)(x+1)=x^2-1[/TEX] , chia đa thức là phân tích được
Như vậy là mình đã nói cơ bản 1 số điểm cơ bản của phương pháp này. Tất nhiên bài tập thì rất nhiều, các bạn hãy tùy cơ ứng biến.
Hãy thử làm ví dụ sau:
Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}[/tex]
Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] (kết quả: [tex]\frac{\pi }{20}[/tex])
Phương pháp này có thể sử dụng với 1 số bài tập dạng như sau đây:
Ví dụ 1: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [tex][\frac{1}{2};2][/tex] thỏa mãn:
f(x)+ 2f([TEX]\frac{1}{x}[/TEX])=3x.(1) Tính tích phân [tex]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{f(x)}{x}dx[/tex]
Lời giải : Ta thay biến x bằng biến [TEX]\frac{1}{x}[/TEX], như vậy ở hệ thức cũ, cứ chỗ nào có x thì ta thay nó bằng [TEX]\frac{1}{x}[/TEX].
Thu được: [tex]f(\frac{1}{x})+2f(\frac{1}{\frac{1}{x}})=3.(\frac{1}{x})<=>f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}(2)[/tex]
Từ (1) và (2) ta thu được hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} f(x)+2f(\frac{1}{x})=3x\\ f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x} \end{matrix}\right.[/tex]
Đến hệ này thì giải hoàn toàn thông thường . Ta nhân 2 pt thứ 2 rồi trừ cho pt thứ nhất để triệt tiêu [TEX]f(\frac{1}{x})[/TEX] và tìm ra hàm f(x). Ở đây ta thu được:
[tex]f(x)=\frac{2}{x}-x[/tex]
Vậy đến đây lấy được nguyên hàm bình thường rồi:
[tex]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{f(x)}{x}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(\frac{2}{x^2}-1)=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy mấu chốt của phương pháp này là: Với đề bài cho hệ thức liên hệ [tex]a.f(x)+b.f(g(x))= u[/tex](với g(x) và a,b,u là các đa thức của biến x). Ta thế biến x sao cho sau khi thế biến, hệ thức liên hệ vẫn chỉ gồm f(x) và f(g(x)) để lập được hệ phương trình và giải tìm f(x). Như vậy có thể nhận ra ở đây ta sẽ thế biến x=g(x) luôn, nếu sau khi thế vào không được hệ thức liên hệ vẫn chỉ gồm f(x) và f(g(x)) thì phương pháp này không sử dụng được. Và ta phải nghĩ tới cách khác.
Cụ thể nếu ở trên họ cho: [tex]f(x)+2f(\frac{1}{x-1})[/tex] , ta thế biến [TEX]x=\frac{1}{x-1}[/TEX] thì sẽ thu được
[TEX]f(\frac{1}{x-1})+2f(\frac{x-1}{2-x})[/TEX], như vậy là không dùng được cách này.
Ví dụ 2:
Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex]. Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Lời giải:
Thử xem có xài được thế biến không: Thế x=1-x ta có :
[tex](1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4[/tex]
Vậy là xài được rồi. Ta có hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\\ (1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4 \end{matrix}\right.[/tex]
Nhân cả 2 vế của pt (1) với [TEX](1-x)^2[/TEX] rồi trừ cho pt (2) để tính hàm f(x):
[tex][(1-x)^2.x^2-1]f(x)=(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4<=>(x^4-2x^3+x^2-1)f(x)=(1-x^2)(x^4-2x^3+x^2-1)<=>f(x)=1-x^2[/tex]
Đến đây thì dễ dàng tính được [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]
Ở bước bên trên, nếu các bạn thấy khó phân tích để tính ra hàm f(x), thì đơn giản nhìn đáp án đề cho, nếu các đáp án đều là hữu tỉ, thì có thể nhập cả đống bầy nhầy đấy vào cho máy tính tính phân mà không cần lo rút gọn. Vẫn sẽ ra kết quả.
Còn nếu là tự luận muốn phân tích chuẩn chỉnh thì chắc một số người cũng biết rồi, nhập vế trái vào casio: [tex](1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4[/tex] rồi bấm solve , ra nghiệm x=1 chẳng hạn, tiếp tục solve nhưng chia cho (x-1) để máy tìm nghiệm khác 1, đến khi ra nghiệm x=-1 thì biết nhân tử sẽ có [TEX](x-1)(x+1)=x^2-1[/TEX] , chia đa thức là phân tích được
Như vậy là mình đã nói cơ bản 1 số điểm cơ bản của phương pháp này. Tất nhiên bài tập thì rất nhiều, các bạn hãy tùy cơ ứng biến.
Hãy thử làm ví dụ sau:
Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}[/tex]
Tính [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] (kết quả: [tex]\frac{\pi }{20}[/tex])
