- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Tích phân max hoặc min của hai hàm có dạng: [tex]\int_{a}^{b}max[f(x),g(x)]dx[/tex] hoặc [TEX]\int_{a}^{b}min[f(x),g(x)]dx[/TEX]. ( đúng đề là dấu { } chứ không phải dấu [ ], tuy nhiên vì khi gõ công thức, dấu { } bị bỏ qua không nhìn thấy, nên mình dùng tạm dấu [ ] )
Loại này đã xuất hiện trong các đề thi thử ở các năm gần đây. Kí hiệu max, min đó có nghĩa là: trên 1 khoảng K bất kỳ ( [tex]K\subset (a;b)[/tex] ), hàm được dùng để lấy tích phân là hàm cho giá trị lớn hơn khi thay 1 x bất kì, giữa 2 hàm f(x) và g(x). Đối với min thì hàm được dùng để lấy tích phân là hàm cho giá trị nhỏ hơn.
Như vậy, cách làm là ta sẽ giải phương trình [TEX]f(x)-g(x)=0[/TEX]. Sau đó xét dấu của f(x)-g(x) trong khoảng (a;b), để chia ra các đoạn mà f(x)>g(x), g(x)>f(x), để chọn hàm lấy tích phân.
Nói thì khó hiểu, xem một số ví dụ minh họa sẽ dễ hiểu hơn:
1. Tính [tex]\int_{0}^{2}max[x^2,x]dx[/tex]
Giải: [TEX]x^2-x=0<=>x=0[/TEX] hoặc x=1
Xét dấu: trên (0;1) thì [TEX] x^2-x<0<=>x^2<x [/TEX]=> max [TEX][x^2,x][/TEX] trên (0;1) là x.
trên (1;2) thì [TEX] x^2-x>0<=>x^2>x [/TEX]=> max [TEX][x^2,x][/TEX] trên (1;2) là [TEX]x^2[/TEX].
Vậy ta chia khoảng lấy tích phân như sau:
[tex]I=\int_{0}^{1}xdx+\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{17}{6}[/tex]
2. Tính [tex]I=\int_{-2}^{4}min[x^2,2x+3]dx[/tex]
Giải: ta có: [TEX]x^2-2x-3=0<=>x=-1[/TEX] hoặc [TEX]x=3[/TEX]. Cả 2 nghiệm này đều thuộc khoảng (-2;4)
Xét dấu: trên (-2;-1) thì [TEX] x^2-2x-3>0<=>2x+3<x^2 [/TEX]=> min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (-2;-1) là [TEX]2x+3[/TEX].
Trên (-1;3) thì [TEX]x^2-2x-3<0<=>x^2<2x+3[/TEX]=>min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (-1;3) là [TEX]x^2[/TEX]
Trên (3;4) thì [TEX] x^2-2x-3>0<=>2x+3<x^2 [/TEX]=> min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (3;4) là [TEX]2x+3[/TEX].
Vậy ta chia I làm 3 khoảng để lấy tích phân:
[tex]I=\int_{-2}^{-1}(2x+3)dx+\int_{-1}^{3}x^2dx+\int_{3}^{4}(2x+3)dx=\frac{58}{3}[/tex]
3. Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{3\pi }{4}}max[sinx,cosx+1]dx[/tex]
Giải: Ta có: [tex]sinx-cosx-1=0<=>\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})=1<=>sin(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
=>[tex]x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}<=>x=\frac{\pi }{2}[/tex]
hoặc [tex]x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}<=>x=\pi[/tex] ( không thuộc khoảng lấy tích phân, loại)
Như vậy, ta chỉ có 1 nghiệm là [TEX]x=\frac{\pi }{2}[/TEX], nghiệm này chắc chắn không phải nghiệm kép. Nên dấu của 2 bên trái và phải nghiệm sẽ khác nhau. Để đơn giản, ta chỉ cần chọn giá trị bất kì vào để xét dấu.
Chọn x=0, thay vào [TEX]sinx-cosx-1=-2<0[/TEX], vậy trong khoảng [tex](0;\frac{\pi }{2})[/tex] [TEX]cosx+1>sinx[/TEX] => max [TEX][sinx,cosx+1][/TEX] trên [tex](0;\frac{\pi }{2})[/tex] là cosx+1
Ở khoảng còn lại, thì max là sinx. Do đó ta có:
[tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(cosx+1)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}sinxdx=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2+\pi }{2}[/tex]
*Nhận xét: Dạng bài này khá giống dạng bài chia khoảng tích phân hàm giá trị tuyệt đối mà mình đã từng trình bày, có điều đề đổi khác đi. Và dạng này thì chưa thấy bài khó, mà chỉ cần hiểu được cách làm. Khó nhất là xét dấu các hàm lượng giác, thì mình có trình bày 1 ví dụ cách xét dấu đơn giản như ở trên.
Loại này đã xuất hiện trong các đề thi thử ở các năm gần đây. Kí hiệu max, min đó có nghĩa là: trên 1 khoảng K bất kỳ ( [tex]K\subset (a;b)[/tex] ), hàm được dùng để lấy tích phân là hàm cho giá trị lớn hơn khi thay 1 x bất kì, giữa 2 hàm f(x) và g(x). Đối với min thì hàm được dùng để lấy tích phân là hàm cho giá trị nhỏ hơn.
Như vậy, cách làm là ta sẽ giải phương trình [TEX]f(x)-g(x)=0[/TEX]. Sau đó xét dấu của f(x)-g(x) trong khoảng (a;b), để chia ra các đoạn mà f(x)>g(x), g(x)>f(x), để chọn hàm lấy tích phân.
Nói thì khó hiểu, xem một số ví dụ minh họa sẽ dễ hiểu hơn:
1. Tính [tex]\int_{0}^{2}max[x^2,x]dx[/tex]
Giải: [TEX]x^2-x=0<=>x=0[/TEX] hoặc x=1
Xét dấu: trên (0;1) thì [TEX] x^2-x<0<=>x^2<x [/TEX]=> max [TEX][x^2,x][/TEX] trên (0;1) là x.
trên (1;2) thì [TEX] x^2-x>0<=>x^2>x [/TEX]=> max [TEX][x^2,x][/TEX] trên (1;2) là [TEX]x^2[/TEX].
Vậy ta chia khoảng lấy tích phân như sau:
[tex]I=\int_{0}^{1}xdx+\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{17}{6}[/tex]
2. Tính [tex]I=\int_{-2}^{4}min[x^2,2x+3]dx[/tex]
Giải: ta có: [TEX]x^2-2x-3=0<=>x=-1[/TEX] hoặc [TEX]x=3[/TEX]. Cả 2 nghiệm này đều thuộc khoảng (-2;4)
Xét dấu: trên (-2;-1) thì [TEX] x^2-2x-3>0<=>2x+3<x^2 [/TEX]=> min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (-2;-1) là [TEX]2x+3[/TEX].
Trên (-1;3) thì [TEX]x^2-2x-3<0<=>x^2<2x+3[/TEX]=>min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (-1;3) là [TEX]x^2[/TEX]
Trên (3;4) thì [TEX] x^2-2x-3>0<=>2x+3<x^2 [/TEX]=> min [TEX][x^2,2x+3][/TEX] trên (3;4) là [TEX]2x+3[/TEX].
Vậy ta chia I làm 3 khoảng để lấy tích phân:
[tex]I=\int_{-2}^{-1}(2x+3)dx+\int_{-1}^{3}x^2dx+\int_{3}^{4}(2x+3)dx=\frac{58}{3}[/tex]
3. Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{3\pi }{4}}max[sinx,cosx+1]dx[/tex]
Giải: Ta có: [tex]sinx-cosx-1=0<=>\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{4})=1<=>sin(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
=>[tex]x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}<=>x=\frac{\pi }{2}[/tex]
hoặc [tex]x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}<=>x=\pi[/tex] ( không thuộc khoảng lấy tích phân, loại)
Như vậy, ta chỉ có 1 nghiệm là [TEX]x=\frac{\pi }{2}[/TEX], nghiệm này chắc chắn không phải nghiệm kép. Nên dấu của 2 bên trái và phải nghiệm sẽ khác nhau. Để đơn giản, ta chỉ cần chọn giá trị bất kì vào để xét dấu.
Chọn x=0, thay vào [TEX]sinx-cosx-1=-2<0[/TEX], vậy trong khoảng [tex](0;\frac{\pi }{2})[/tex] [TEX]cosx+1>sinx[/TEX] => max [TEX][sinx,cosx+1][/TEX] trên [tex](0;\frac{\pi }{2})[/tex] là cosx+1
Ở khoảng còn lại, thì max là sinx. Do đó ta có:
[tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(cosx+1)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}sinxdx=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2+\pi }{2}[/tex]
*Nhận xét: Dạng bài này khá giống dạng bài chia khoảng tích phân hàm giá trị tuyệt đối mà mình đã từng trình bày, có điều đề đổi khác đi. Và dạng này thì chưa thấy bài khó, mà chỉ cần hiểu được cách làm. Khó nhất là xét dấu các hàm lượng giác, thì mình có trình bày 1 ví dụ cách xét dấu đơn giản như ở trên.
