- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chắc các bạn đã biết tích phân hàm trị tuyệt đối thì phải chia khoảng để phá trị tuyệt đối. Có 1 loại bài tập nữa cũng phải chia khoảng như vậy. Cụ thể hãy xem 1 số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính [tex]I=\int_{0}^{2}min{x^2,\sqrt{x}}dx[/tex]
Thì ý của người ta là gì? Họ cho 2 cái hàm f(x) và g(x) phân tách nhau bởi dấu "," , tùy theo yêu cầu. Nếu yêu cầu là min ( như đề trên ) , thì ta xét trên khoảng lấy tích phân, khoảng nào mà cho f(x)<g(x) thì lấy tích phân trên khoảng đó với đối tượng hàm f(x), khoảng nào cho g(x)<f(x) thì lấy tích phân trên khoảng đó với đối tượng là hàm g(x). Và ngược lại đối với yêu cầu max.
Vậy cụ thể cách làm như sau:
Xét hàm : h(x)=[tex]x^2-\sqrt{x},x\epsilon [0;2][/tex], h(x)=0 có nghiệm x=1, đưa lên xét dấu: [TEX]x\epsilon [1;2][/TEX]thì h(x)[TEX]\geq[/TEX]0(hay f(x)[TEX]\geq[/TEX]g(x), vậy ở khoảng này chọn hàm g(x) lấy tích phân), theo quy tắc đan dấu [TEX]x\epsilon [0;1][/TEX] thì h(x)[TEX]\leq[/TEX]0 ( hay f(x)[TEX]\leq[/TEX]g(x), vậy ở khoảng này chọn hàm f(x) lấy tích phân)
Vậy: [tex]I=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{1}^{2}\sqrt{x}dx=\frac{4\sqrt{2}-1}{3}[/tex]
Ví dụ 2: Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}max[sinx,cosx]dx[/tex]
Tương tự lại có h(x)=sinx-cosx, giải nghiệm rồi xét dấu ta lại có:
[TEX]x\epsilon [0;\frac{\pi }{4}][/TEX]thì [tex]sinx\leq cosx[/tex] , vậy ở khoảng này chọn hàm cosx lấy tích phân
[TEX]x\epsilon [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}][/TEX]thì [tex]sinx\geq cosx[/tex], vậy ở khoảng này chọn hàm sinx lấy tích phân.
Vậy [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cosxdx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}sinxdx=\sqrt{2}[/tex]
Rồi đó là cách xử lí chung cho dạng bài này, nếu khó có lẽ là ở chỗ phương trình hơi khó nhìn thôi. Các bạn có thể tự làm thêm ví dụ sau:
Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}max[e^x+cosx,2+x-\frac{x^2}{2}]dx[/tex](kết quả: [tex]-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+e^{\frac{\pi }{4}}[/tex]
Ví dụ 1: Tính [tex]I=\int_{0}^{2}min{x^2,\sqrt{x}}dx[/tex]
Thì ý của người ta là gì? Họ cho 2 cái hàm f(x) và g(x) phân tách nhau bởi dấu "," , tùy theo yêu cầu. Nếu yêu cầu là min ( như đề trên ) , thì ta xét trên khoảng lấy tích phân, khoảng nào mà cho f(x)<g(x) thì lấy tích phân trên khoảng đó với đối tượng hàm f(x), khoảng nào cho g(x)<f(x) thì lấy tích phân trên khoảng đó với đối tượng là hàm g(x). Và ngược lại đối với yêu cầu max.
Vậy cụ thể cách làm như sau:
Xét hàm : h(x)=[tex]x^2-\sqrt{x},x\epsilon [0;2][/tex], h(x)=0 có nghiệm x=1, đưa lên xét dấu: [TEX]x\epsilon [1;2][/TEX]thì h(x)[TEX]\geq[/TEX]0(hay f(x)[TEX]\geq[/TEX]g(x), vậy ở khoảng này chọn hàm g(x) lấy tích phân), theo quy tắc đan dấu [TEX]x\epsilon [0;1][/TEX] thì h(x)[TEX]\leq[/TEX]0 ( hay f(x)[TEX]\leq[/TEX]g(x), vậy ở khoảng này chọn hàm f(x) lấy tích phân)
Vậy: [tex]I=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{1}^{2}\sqrt{x}dx=\frac{4\sqrt{2}-1}{3}[/tex]
Ví dụ 2: Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}max[sinx,cosx]dx[/tex]
Tương tự lại có h(x)=sinx-cosx, giải nghiệm rồi xét dấu ta lại có:
[TEX]x\epsilon [0;\frac{\pi }{4}][/TEX]thì [tex]sinx\leq cosx[/tex] , vậy ở khoảng này chọn hàm cosx lấy tích phân
[TEX]x\epsilon [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}][/TEX]thì [tex]sinx\geq cosx[/tex], vậy ở khoảng này chọn hàm sinx lấy tích phân.
Vậy [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cosxdx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}sinxdx=\sqrt{2}[/tex]
Rồi đó là cách xử lí chung cho dạng bài này, nếu khó có lẽ là ở chỗ phương trình hơi khó nhìn thôi. Các bạn có thể tự làm thêm ví dụ sau:
Tính [tex]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}max[e^x+cosx,2+x-\frac{x^2}{2}]dx[/tex](kết quả: [tex]-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+e^{\frac{\pi }{4}}[/tex]
