- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Tích có hướng của 2 vecto:
Tích có hướng của 2 vecto [tex]\overrightarrow{u}=(a_1;b_1;c_1)[/tex] và [TEX]\overrightarrow{v}=(a_2;b_2;c_2)[/TEX], đúng như tên gọi của nó, kết quả là 1 vecto. Vecto đó có tính chất là vuông góc với cả 2 vecto nhân tích có hướng trước đó.
- Kí hiệu: tích có hướng của 2 vecto [TEX] \overrightarrow{u}[/TEX] và [TEX]\overrightarrow{v}[/TEX] được kí hiệu là: [TEX][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}][/TEX]
- Công thức tính: [tex][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c_1 &a_1 \\ c_2&a_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2&b_2 \end{vmatrix})=(b_1c_2-b_2c_1;c_1a_2-c_2a_1;a_1b_2-a_2b_1)[/tex]
+ Nhận xét: trong trường hợp 2 vecto cùng phương, tích có hướng của chúng cho kết quả vecto không.
- Độ dài vecto tích có hướng: ngoài cách tính tích có hướng bằng công thức rồi lấy độ dài, ta còn có thể tính:
[TEX]|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.sin( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) [/TEX]
* Ứng dụng của tích có hướng trong bài toán diện tích, thể tích:
- Diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]|[/tex]
Diện tích 1 tam giác bằng nửa diện tích 1 hình bình hành tương ứng, nên ta dễ thấy:
- Diện tích tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|[/tex]
- Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D':
[tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'} |[/tex]
- Thể tích khối chóp ABCD:
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |[/tex]
* Bài tập vận dụng:
1. Cho 4 điểm A(1;0;0) , B(0;2;0), C(0;0;2), D(5;5;5). Tính thể tích khối chóp ABCD.
Giải: [TEX]\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(-1;0;2)[/TEX]
[TEX]\overrightarrow{AD}=(4;5;5)[/TEX]
Áp dụng công thức tính tích có hướng:
[TEX][\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(4;2;2)[/TEX]
=>[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |=\frac{1}{6}|4.4+5.2+5.2|=6[/tex]
2. Cho A(1;2;3) , B(1;3;2), C(4;4;4). Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
Giải:
[TEX]\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(3;2;1)[/TEX]
Ta có : [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(3;-3;-3)|[/tex]
=[tex]\frac{1}{2}\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}[/tex]
Độ dài AB= [tex]\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]
=> [tex]CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2.\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex]
3. Cho A(1;2;3) , B(3;3;2).Tìm C thuộc Ox sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
Giải:
[TEX]\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)[/TEX]
Do C thuộc Ox nên tọa độ của C có dạng : (c;0;0)
=>[TEX]\overrightarrow{AC}=(c-1;-2;-3)[/TEX]
[TEX]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(-5;7-c;-3-c)|[/TEX]
=[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{25+(c-7)^2+(c+3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^2-8c+83}=\frac{1}{2}\sqrt{2(c-2)^2+75}[/tex]
[tex]\geq \frac{1}{2}\sqrt{75}[/tex]
Min đạt khi c=2.
Vây tọa độ của C cần tìm là (2;0;0)
Tích có hướng của 2 vecto [tex]\overrightarrow{u}=(a_1;b_1;c_1)[/tex] và [TEX]\overrightarrow{v}=(a_2;b_2;c_2)[/TEX], đúng như tên gọi của nó, kết quả là 1 vecto. Vecto đó có tính chất là vuông góc với cả 2 vecto nhân tích có hướng trước đó.
- Kí hiệu: tích có hướng của 2 vecto [TEX] \overrightarrow{u}[/TEX] và [TEX]\overrightarrow{v}[/TEX] được kí hiệu là: [TEX][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}][/TEX]
- Công thức tính: [tex][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c_1 &a_1 \\ c_2&a_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2&b_2 \end{vmatrix})=(b_1c_2-b_2c_1;c_1a_2-c_2a_1;a_1b_2-a_2b_1)[/tex]
+ Nhận xét: trong trường hợp 2 vecto cùng phương, tích có hướng của chúng cho kết quả vecto không.
- Độ dài vecto tích có hướng: ngoài cách tính tích có hướng bằng công thức rồi lấy độ dài, ta còn có thể tính:
[TEX]|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.sin( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) [/TEX]
* Ứng dụng của tích có hướng trong bài toán diện tích, thể tích:
- Diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]|[/tex]
Diện tích 1 tam giác bằng nửa diện tích 1 hình bình hành tương ứng, nên ta dễ thấy:
- Diện tích tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|[/tex]
- Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D':
[tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'} |[/tex]
- Thể tích khối chóp ABCD:
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |[/tex]
* Bài tập vận dụng:
1. Cho 4 điểm A(1;0;0) , B(0;2;0), C(0;0;2), D(5;5;5). Tính thể tích khối chóp ABCD.
Giải: [TEX]\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(-1;0;2)[/TEX]
[TEX]\overrightarrow{AD}=(4;5;5)[/TEX]
Áp dụng công thức tính tích có hướng:
[TEX][\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(4;2;2)[/TEX]
=>[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |=\frac{1}{6}|4.4+5.2+5.2|=6[/tex]
2. Cho A(1;2;3) , B(1;3;2), C(4;4;4). Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
Giải:
[TEX]\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(3;2;1)[/TEX]
Ta có : [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(3;-3;-3)|[/tex]
=[tex]\frac{1}{2}\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}[/tex]
Độ dài AB= [tex]\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]
=> [tex]CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2.\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex]
3. Cho A(1;2;3) , B(3;3;2).Tìm C thuộc Ox sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
Giải:
[TEX]\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)[/TEX]
Do C thuộc Ox nên tọa độ của C có dạng : (c;0;0)
=>[TEX]\overrightarrow{AC}=(c-1;-2;-3)[/TEX]
[TEX]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(-5;7-c;-3-c)|[/TEX]
=[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{25+(c-7)^2+(c+3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^2-8c+83}=\frac{1}{2}\sqrt{2(c-2)^2+75}[/tex]
[tex]\geq \frac{1}{2}\sqrt{75}[/tex]
Min đạt khi c=2.
Vây tọa độ của C cần tìm là (2;0;0)
