Toán 12 Tích có hướng của vecto và ứng dụng tính diện tích, thể tích

Thảo luận trong 'Phương pháp tọa độ trong không gian' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 28 Tháng hai 2020.

Lượt xem: 75

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    * Tích có hướng của 2 vecto:
    Tích có hướng của 2 vecto [tex]\overrightarrow{u}=(a_1;b_1;c_1)[/tex] và [TEX]\overrightarrow{v}=(a_2;b_2;c_2)[/TEX], đúng như tên gọi của nó, kết quả là 1 vecto. Vecto đó có tính chất là vuông góc với cả 2 vecto nhân tích có hướng trước đó.

    - Kí hiệu: tích có hướng của 2 vecto [TEX] \overrightarrow{u}[/TEX] và [TEX]\overrightarrow{v}[/TEX] được kí hiệu là: [TEX][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}][/TEX]

    - Công thức tính: [tex][\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c_1 &a_1 \\ c_2&a_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2&b_2 \end{vmatrix})=(b_1c_2-b_2c_1;c_1a_2-c_2a_1;a_1b_2-a_2b_1)[/tex]

    + Nhận xét: trong trường hợp 2 vecto cùng phương, tích có hướng của chúng cho kết quả vecto không.

    - Độ dài vecto tích có hướng: ngoài cách tính tích có hướng bằng công thức rồi lấy độ dài, ta còn có thể tính:
    [TEX]|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.sin(
    \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})
    [/TEX]

    * Ứng dụng của tích có hướng trong bài toán diện tích, thể tích:
    - Diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]|[/tex]

    Diện tích 1 tam giác bằng nửa diện tích 1 hình bình hành tương ứng, nên ta dễ thấy:
    - Diện tích tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|[/tex]

    - Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D':
    [tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'} |[/tex]

    - Thể tích khối chóp ABCD:
    [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |[/tex]

    * Bài tập vận dụng:

    1. Cho 4 điểm A(1;0;0) , B(0;2;0), C(0;0;2), D(5;5;5). Tính thể tích khối chóp ABCD.

    Giải: [TEX]\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(-1;0;2)[/TEX]
    [TEX]\overrightarrow{AD}=(4;5;5)[/TEX]

    Áp dụng công thức tính tích có hướng:
    [TEX][\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(4;2;2)[/TEX]

    =>[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD} |=\frac{1}{6}|4.4+5.2+5.2|=6[/tex]

    2. Cho A(1;2;3) , B(1;3;2), C(4;4;4). Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.

    Giải:
    [TEX]\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)[/TEX], [TEX]\overrightarrow{AC}=(3;2;1)[/TEX]
    Ta có : [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(3;-3;-3)|[/tex]
    =[tex]\frac{1}{2}\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}[/tex]

    Độ dài AB= [tex]\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]

    => [tex]CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2.\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex]

    3. Cho A(1;2;3) , B(3;3;2).Tìm C thuộc Ox sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất

    Giải:
    [TEX]\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)[/TEX]
    Do C thuộc Ox nên tọa độ của C có dạng : (c;0;0)
    =>[TEX]\overrightarrow{AC}=(c-1;-2;-3)[/TEX]

    [TEX]S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(-5;7-c;-3-c)|[/TEX]
    =[tex]=\frac{1}{2}\sqrt{25+(c-7)^2+(c+3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^2-8c+83}=\frac{1}{2}\sqrt{2(c-2)^2+75}[/tex]
    [tex]\geq \frac{1}{2}\sqrt{75}[/tex]

    Min đạt khi c=2.
    Vây tọa độ của C cần tìm là (2;0;0)
     
    Nguyễn Hữu Khanh thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->