thi thử lớp 10 thpt

Q

quangbaobg

N

nguyenbahiep1

câu 5. Cho 2 số dương a,b thỏa mãn 1/a + 1/b =2
Tìm MAX của biểu thức: Q=1/(a^4+b^2+2ab^2)+1/(b^4+a^2+2ba^2).

câu này khó quá. những chỗ dấu mũn mình không biết viết nên để thế các bạn thông cảm nha^^.

[laTEX]a+b = 2ab \geq 2\sqrt{ab} \Rightarrow ab \geq1 \Rightarrow (ab)^3 \geq 1 \\ \\ Q \leq \frac{1}{2a^2b+2ab^2} +\frac{1}{2a^2b+2ab^2} = \frac{1}{a^2b+ab^2} \\ \\ Q \leq \frac{1}{2\sqrt{(ab)^3}} \leq \frac{1}{2} \\ \\ dau-bang-xay-ra: a=b = 1[/laTEX]
 
Last edited by a moderator:
E

eye_smile

Ta có: ${\left( {{a^2} - b} \right)^2} \ge 0 \leftrightarrow {a^4} + {b^2} \ge 2{a^2}b \leftrightarrow {a^4} + {b^2} + 2a{b^2} \ge 2{a^2}b + 2a{b^2}$
$ \to \dfrac{1}{{{a^4} + {b^2} + 2a{b^2}}} \le \dfrac{1}{{2{a^2}b + 2a{b^2}}}$
Chứng minh tương tự, có:$\dfrac{1}{{{b^4} + {a^2} + 2{a^2}b}} \le \dfrac{1}{{2{a^2}b + 2a{b^2}}}$
$ \to Q \le 2.\dfrac{1}{{2{a^2}b + 2a{b^2}}} = \dfrac{2}{{2ab\left( {a + b} \right)}}$
Lại có: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2$
$ \to \dfrac{{a + b}}{{ab}} = 2 \leftrightarrow a + b = 2ab$
$ \to Q \le \dfrac{2}{{2ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{1}{{ab.2ab}} = \dfrac{1}{{2{a^2}{b^2}}}$
*$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \leftrightarrow 2 \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \leftrightarrow 1 \ge \sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \leftrightarrow 1 \ge \dfrac{1}{{ab}} \leftrightarrow ab \ge 1 \leftrightarrow \dfrac{1}{{ab}} \le 1 \leftrightarrow \dfrac{1}{{2{a^2}{b^2}}} \le \dfrac{1}{2}$
$ \to Q \le \dfrac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = b \\
{b^2} = a \\
a = b \\
\end{array} \right. \leftrightarrow a = b = 1$
 
Q

quangbaobg

ai chà. kinh không. những bài này cho tui làm chắc nát óc mất thui.đúng là thiên tài..........
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom