Toán 9 Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 1, đợt 3

[anhlehoang123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định, B,C cố định, A di chuyển trên (O). D thuộc đoạn BC sao cho AD là phân giác ∠BAC. Đường tròn (K) qua A và tiếp xúc với BC tại D.
1) Chứng minh rằng (K) tiếp xúc (O).
2) Gọi (K) giao CA,AB lần lượt tại E,F khác A. BE,CF lần lượt cắt (K) tại G,H khác E,F. AG,AH cắt BC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng độ dài MN luôn không đổi khi A di chuyển.

 

[Tề Tịnh Hy]

1) $AD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $T$. Ta có $TB=TC$ suy ra $OT \perp BC$. Mặt Khác $(K)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$ nên $KD \perp BC$ do đó $KD \parallel OT$.
Suy ra $\widehat{KAT}=\widehat{KAD}=\widehat{KDA}=\widehat{OTA}=\widehat{OAT}$ nên $A, K, O$ thẳng hàng hay $(K, KA)$ tiếp xúc $(O, OA)$.
2) Ta có $\triangle BDF \sim \triangle BAD$, $\triangle CDE \sim \triangle CAD$ do đó $BD^2=BF.BA$, $CD^2=CE.CA$, suy ra $\frac{BF}{CE} = \frac{BD^2}{CD^2}.\frac{CA}{BA}=\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AC}$ nên $EF \parallel BC$ theo định lí Thales. Do đó $\widehat{MBE}=\widehat{BEF}=\widehat{MAB}$ hay $\triangle MBG \sim \triangle MAB$, suy ra $MB^2=MG.MA=MD^2$ hay $M$ là trung điểm $BD$. Tương tự, $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN= \frac{BC}{2}$.