thêm bài bất đẳng thức

[t24495]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z là số dương và $xyz\ge 1$, chứng minh:
$$\sum_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}} \ge \frac{3}{\sqrt{2}}$$

 

[l94]

Bài này có nhiều cách, đây là cách điển hình:
$$\sum \sqrt{\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}} \ge \sqrt{\frac{x^2}{x^2yz+x^2y^2z^2\sqrt{yz}}}=\sum \frac{1}{\sqrt{yz+y^2z^2\sqrt{yz}}}$$
Đặt $$\sqrt{yz}=a$$ và các hoán vị lần lượt là b và c điều kiện $$a,b,c >0; abc \ge 1$$
$$P=\sum \frac{1}{\sqrt{a^2+a^5}}$$

xét hàm $$f(t)=\frac{1}{\sqrt{t^2+t^5}}$$
Rồi dùng phương pháp tiếp tuyến, sau đó chuyển vế là xong.