Toán Thảo luận chung

[Trà My Chi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn O bán kính R. Gọi M là điểm thuộc cung BC.
a. C/m MA=MB+MC
b. Gọi D là giao điểm của MA và BC. C/m MD/MB+MD/MC=1
c. Tính tổng MA^2 +MB^2+MC^2 theo R

 

[Phương Trang]

a) Trên MA lấy I sao cho MI = MC. (*)
Dễ thấy [tex]\Delta MCI[/tex] đều
=> CI = CM (1)
[tex]\widehat{ACK} + \widehat{BCK} = 60^{\circ}[/tex]
[tex]\widehat{BCM} + \widehat{BCK} = 60^{\circ}[/tex]
=> [tex]\widehat{ACK} = \widehat{BCK}[/tex] (2)
mà AC= BC (gt) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có : [tex]\Delta BCM = \Delta ACK[/tex] ( c-g-c)
=>BM = AK (**)
từ (*), (**) ta có: BM + CM = MK + AK = AM

 

[Phương Trang]

b) [tex]\Delta MBD \sim \Delta MAC[/tex]
=> [tex]\frac{MD}{MC} = \frac{MB}{MA}[/tex] => MD.MA = MB.MC
=> MD(MB + MC) = MB.MC (câu a có: MA = MB + MC)
=> MD.MB + MD.MC = MB.MC
=> [tex]\frac{MD}{MC} + \frac{MD}{MB} = 1[/tex]

 

[iceghost]

a) Dựng $\triangle{MCN}$ đều ($N$ nằm khác phía với $B$ qua $MC$. Do $\widehat{BMC} + \widehat{CMN} = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ nên $B, M, N$ thẳng hàng
Xét $\triangle{AMC}$ và $\triangle{BNC}$ có $AC = BC$, $MC = NC$ và $\widehat{ACM} = \widehat{BCN} ( = \widehat{BCM} + 60^\circ)$ nên $\triangle{AMC} = \triangle{BNC}$ (c.g.c). Khi đó $MA = NB = MB + MC$
b) Do $\widehat{BMA} = \widehat{BNC} = 60^\circ$ nên $MA \parallel NC$
Khi đó ta có $\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{NC}{NB} = \dfrac{NM}{NB}$
và $\dfrac{MD}{MC} = \dfrac{MD}{NC} = \dfrac{BM}{NB}$
$\implies \dfrac{MD}{MB} + \dfrac{MD}{MC} = \dfrac{NM + BM}{NB} = 1$
c) Theo hệ quả Ta-lét ta có $\dfrac{DM}{CN} = \dfrac{BM}{BN}$
Hay $\dfrac{DM}{CM} = \dfrac{BM}{AM}$
$\iff BM \cdot CM = DM \cdot AM = AM^2 - AD \cdot AM = AM^2 - AB^2$ ($AD \cdot AM = AB^2$ bạn tự CM)
$\implies AB^2 = AM^2 - BM \cdot CM$
$\implies 2AB^2 = 2AM^2 - 2BM \cdot CM$
$= 2AM^2 - [(BM + CM)^2 - BM^2 - CM^2]$
$= 2AM^2 - (AM^2 - BM^2 - CM^2)$
$= AM^2 + BM^2 + CM^2$
Rồi bạn tính $AB$ theo $R$ nữa là xong.