Thắc mắc bài giải trong bài tập tự luyện của thầy Phương

[tomatic]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 6 (bài 10: các pp tính tích phân phần 4)
Em không hiểu tại sao thầy lại đặt[TEX] t=\sqrt{1+x^2}[/TEX] mà không đặt [TEX]x=tant[/TEX] ?
Trong khi đổi cận của bài này mà thầy làm đều là căn 2 còn khi đặt x=tant là -pi/4 -> pi/4?
Với lại sau khi đổi biến số chuyển sang tích phân mới thì làm sao ra được tích phân [TEX]\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{t^2dt}{2(t^2-1)}[/TEX]

 

[hocmai.toanhoc]

Chào em!
Chắc là em thắc mắc cách tính tích phân [TEX]I_2=\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x}dx[/TEX]
Theo cách của thầy đặt: [TEX]t=\sqrt{1+x^2} \Rightarrow t^2=1+x^2\Leftrightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow dx=\frac{tdt}{x}[/TEX]và em rút ra [TEX]x^2=t^2-1[/TEX]
Đổi cận: [TEX]x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}; x=-1\Rightarrow t=\sqrt{2}[/TEX]
Thay vào ta được: [TEX]I=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{t}{2x}.\frac{tdt}{x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_2=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{t^2dt}{2(t^2-1)}=0[/TEX]
Còn cách của em đặt [TEX]x=tant[/TEX], cũng được.
Hoặc em có thể làm theo cách sau: Đây là tích phân dạng [TEX]I=\int_{-a}^{a}f(x)dx[/TEX]
Mà f(x) là hàm lẻ nên dễ dàng chứng minh được: I=0
Vì [TEX]I=\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=I_1+I_2[/TEX]
Tính [TEX]I_1=\int_{-a}^{0}f(x)dx[/TEX]bằng cách đặt x = -t thì em sẽ ra được [TEX]I_1=-I_2[/TEX]. Vậy I = 0.