Toán [TEST] Hướng dẫn gõ công thức toán học

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi minhtuyb, 29 Tháng bảy 2012.

Lượt xem: 19,385

?

Bạn có thể gõ được $\LaTeX$ sau khi học kĩ hướng dẫn này không?

Poll closed 8 Tháng tám 2012.
  1. 0 vote(s)
    0.0%
  2. Sơ sơ

    0 vote(s)
    0.0%
  3. Không

    0 vote(s)
    0.0%

  1. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!


    Hướng dẫn gõ $LaTeX$

    Trước tiên công thức phải được đặt giữa cặp dấu: $ Công thức Toán $ hoặc $$ Công thức Toán $$, tùy theo mục đích sử dụng.

    + Nếu sử dụng $ Công thức Toán $ thì biểu thức Toán sẽ hiển thị ngay trên dòng:

    Ví dụ, ta gõ:
    Mã:
     $A= x+1$
    thì nó sẽ hiển thị là:
    $A=x+1$

    + Nếu sử dụng $$ Công thức Toán $$ thì biểu thức Toán sẽ tự động xuống hàng và canh giữa:

    Ví dụ, ta gõ:
    Mã:
     $$A= x+1$$
    thì nó sẽ hiển thị là:
    $$A=x+1$$

    +) Trong khi học code latex mà mình sẽ đề cập ở dưới, các bạn nên vào trang: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php để hỗ trợ cho việc đánh latex. Ở đó có đầy đủ các công thức nên hỗ trợ rất tốt cho việc soạn thảo cũng như học các đánh latex

    +) Sau khi soạn thảo xong, ta nên tích vào ô "Tắt smilies trong đoạn văn" để tránh những lỗi latex có thể phát sinh
    _____________________
    I.
    Một số kí hiệu cơ bản


    1) Phân số và liên phân số
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $\frac{a}{b};\frac{x+1}{y-1}$
    Sẽ hiển thị $\frac{a}{b};\frac{x+1}{y-1}$

    *Quy tắc: Để gõ phân số ta gõ $\frac{<tử_số>}{<mẫu_số>}$
    *Chú ý: + Bình thường phân số sẽ tự động thu nhỏ kích thước, muốn giữ nguyên kích thước ta dùng lệnh: $\dfrac{<tử_số>}{<mẫu_số>}$

    VD: Ta gõ
    Mã:
    $\frac{z+1}{x};\dfrac{z+1}{x}$
    Sẽ hiển thị $\frac{z+1}{x};\dfrac{z+1}{x}$


    *Liên phân số thực chất là sự kết hợp của nhiều phân số .Ta coi phân số như một biếu thức bình thường, tức là một biểu thức ở tử số hoặc mẫu số

    VD: Ta gõ
    Mã:
    $\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}};\dfrac{\dfrac{x+1}{y}}{\frac{z}{2}}$
    Sẽ hiển thị
    $\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}};\dfrac{\dfrac{x+1}{y}}{\dfrac{z}{2}}$

    2) Chỉ số trên và chỉ số dưới

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
    $x^5 ; x^{5} ;b^12 ; b^{12}$
    thì sẽ hiện thị: $x^5 ; x^{5} b^12 ; b^{12}$

    Từ đây ta rút ra nhận xét:
    $\bullet$ Nếu chỉ số trên có một chữ số thì việc gõ
    $a^b$ $a^{b}$ sẽ cho kết quả như nhau
    $\bullet$ Nếu chỉ số trên có nhiều hơn hoặc có 2 chữ số thì việc gõ $a^bc$$a^{bc}$ sẽ cho kết quả khác nhau.
    *Quy tắc:
    $\bullet$ Nếu chỉ số trên (dưới) chỉ có một chữ số thì khuyến khích gõ
    $<biểu_thức>^<chỉ_số>$ (hoặc $<biểu_thức>_<chỉ_số>$ đối với chỉ số dưới)
    $\bullet$ Nếu chỉ số trên (dưới) chỉ có một chữ số thì phải gõ $<biểu_thức>^{<chỉ_số>}$ (hoặc $<biểu_thức>_{<chỉ_số>}$ đối với chỉ số dưới) (Có dấu "{}" hai đầu chỉ số)

    *Chú ý:
    Chỉ số có thể là một biểu thức
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $a_{n+1} ;a_n+1; z^{p+q};z^p+q $
    thì sẽ hiện thị: $a_{n+1} ;a_n+1; z^{p+q};z^p+q $


    3) Căn thức
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $\sqrt{x-1} ; \sqrt{\dfrac{x^2-1}{x}} ;\sqrt[3]{a^2} ;  \sqrt[5]{abcde}$
    Thì sẽ hiện thị: $\sqrt{x-1} ; \sqrt{\dfrac{x^2-1}{x}} ;\sqrt[3]{a^2} ; \sqrt[5]{abcde}$
    *Quy tắc:
    $\bullet$ Nếu là căn bậc hai thì gõ
    $\sqrt{<biểu_thức>}$
    $\bullet$ Nếu là căn bậc ba trở lên thì gõ $\sqrt[<chỉ_số_căn>]{<biểu_thức>}$
    *Chú ý: Chỉ số căn cũng có thể là một biểu thức


    4) Các dấu ngoặc
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $ x+2\left\{x+2\left[x+2(x+2)\right]\right\} $
    Thì sẽ hiện thị:
    $ x+2\left\{x+2\left[x+2(x+2)\right]\right\} $
    *Quy tắc:
    $\bullet$ Nếu là ngoặc tròn thì không cần \left; \right

    $\bullet$ Nếu là ngoặc vuông thì gõ $ \left[<biểu_thức>\right] $
    $\bullet$ Nếu là ngoặc nhọn thì gõ $ \left\{<biểu_thức>\right\} $

    5) Góc, độ
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $\hat{A}=90^o;\widehat{DEF}=\widehat{DEM}$
    Thì sẽ hiện thị: $\hat{A}=90^o;\widehat{DEF}=\widehat{DEM}$

    *Quy tắc:
    $\bullet$ Nếu tên góc chỉ có 1 kí tự (gọi ngắn gọn) thì gõ $\hat{<kí_tự>}$

    $\bullet$ Nếu tên góc có nhiều hơn 1 kí tự thì gõ $\widehat{<tên_góc>}$
    $\bullet$ Kí hiệu “độ” thực chất là chỉ số trên của chữ “o”

    6) Quan hệ giữa các phần tử:
    VD: Ta gõ
    Mã:
      $a = b ,a\ne b, a > b, a < b, a \geq b, a \leq b, a \equiv b(mod  3)$
    Sẽ hiển thị: $a = b ,a\ne b, a > b, a < b, a \geq b, a \leq b, a \equiv b(mod 3)$


    7) Quan hệ giữa các đối tượng hình học
    VD: Ta gõ
    Mã:
     $(d)\perp AB; MN//PQ;B\in EF;\Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$
    Sẽ hiển thị: $(d)\perp AB; MN//PQ;B\in EF;\Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$


    8) Biểu diễn số tự nhiên
    VD: Ta gõ
    Mã:
     $\overline{abab};\overline{7abc};\underbrace{111..11}$
    Sẽ hiển thị: $\overline{abab};\overline{7abc};\underbrace{111..11}$

    *Lệnh \underbrance sẽ được giới thiệu kĩ hơn ở chương sau

    9) Biểu diễn tên tập hợp trong toán học
    VD: Ta gõ
    Mã:
     $\mathbb{N};\mathbb{N^*};\mathbb{Z};\mathbb{P};…$
    Sẽ hiển thị:
    $\mathbb{N};\mathbb{N^*};\mathbb{Z};\mathbb{P};…$
    *Quy tắc: Đặt tên tập hợp giữa thẻ $\mathbb{<tên_tập_hợp>}$

    10) Trị tuyệt đối, tiến tới, vô cực, cộng trừ
    VD: Ta gõ
    Mã:
     $|a|\ge 0; x\to 2; x\to \infty; z\to -\infty ;x=\pm 1$ 
    Sẽ hiển thị: $|a|\ge 0; x\to 2; x\to \infty; z\to -\infty;x=\pm 1 $

    *Chú‎ ý: Trên bàn phím, kí tự “|” ở trên nút “Enter” (Shift+”\”)
     
  2. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    11) Một số chữ cái la-tinh thường dùng


    12) Các phép suy luận toán học

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $P\Leftarrow Q; P\Rightarrow Q; P\Leftrightarrow Q$ 
    Sẽ hiển thị: $P\Leftarrow Q; P\Rightarrow Q; P\Leftrightarrow Q$

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\forall x; \exists y; x=1\vee x=2 ; x=1\wedge x+y=2;
    sẽ hiển thị $\forall x; \exists y; x=1\vee x=2 ; x=1\wedge x+y=2$
    *Ngoài ra:

    13) Véc-tơ, tích vô hướng của hai véc-tơ

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\vec{u};\vec{i}(0;1);\vec{u}.\vec{i}$ 
    Sẽ hiển thị: $\vec{u};\vec{AB}(0;1);\vec{u}.\vec{i}$
    *Quy tắc: Tên véc-tơ được đặt giữa thẻ
    $\vec {<tên_véc_tơ>}$

    14) Kí hiệu tổng, tích

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\sum a^2; \sum_{sym}x^2y; \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$
    Sẽ hiển thị: $\sum a^2; \sum_{sym}x^2y; \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$
    *Quy tắc:
    $\bullet$ Để biểu diễn tổng thông thường, đối xứng hay hoán vị gõ
    $\sum_{loại_tổng}<biểu_thức>$
    $\bullet$ Để biểu diễn tổng có biến chạy, gõ
    $\sum_{<biến_chạy>=<gt_đầu>}^{<gt_cuối>}<biểu_thức>$
    Tương tự với kí hiệu tích:

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\prod a^2; \prod_{sym}x^2y; \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$
    Sẽ hiển thị: $\prod a^2; \prod_{sym}x^2y; \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$
    *Chú‎ ý:
    Nếu muốn đẩy chỉ số trên và chỉ số dưới lên hắn kí hiệu tổng (tích) thì thêm \limits sau \sum (\prod)

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b+c}\ge 2; \prod\limits_{i=1}^{n} a_i=1$
    Sẽ hiển thị: $\sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b+c}\ge 2; \prod\limits_{i=1}^{n} a_i=1$

    15) Giới hạn

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\lim \dfrac{1}{x}=0; \lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
    Sẽ hiển thị: $\lim \dfrac{1}{x}=0; \lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
    *Quy tắc:
    $\lim <biểu_thức>$ hoặc $\lim\limits_{<khoảng_giới_hạn>}<biểu_thức>$

    16) Tổ hợp

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $( n\choose k)$
    Sẽ hiển thị: $\ n\choose k $

    17) Tích phân

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $\int\limits_{1}^{2} x^2+x+1 $
    Sẽ hiển thị: $\int\limits_{1}^{2} x^2+x+1 $

    *Quy tắc:
    $\int_{<giá_trị_đầu>}^{<giá_trị_cuối>} <biểu_thức>$
    *Chú‎ ý:
    Dòng \limits sau \int cũng có tác dụng tương tự kí hiệu tổng, tích
     
  3. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    II. Hệ phương trình, kẻ bảng

    1) Dấu cách và xuống dòng trong latex

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $$ a\ b \\x$$
    Sẽ hiển thị:
    $$ a\ b \\x $$
    *Quy tắc:
    $\bullet$ Để để trống một khoảng cách giữa $A$ và $B$, ta gõ
    $A\ B$ .
    +Kí tự “\” và “B” không được viết liền. Nếu không latex sẽ không hiển thị
    +Không được gõ 2 kí tự “\” liên tiếp. Nếu không máy sẽ hiểu là bạn đang muốn xuống dòng
    $\bullet$ Để xuống dòng, gõ “\\”. Kí tự “\” thứ hai và “B” có thể viết liền

    2) Hệ phương trình: P “và” Q

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $$ \left\{\begin{matrix} x+1=1\\y-1=1 \end{matrix}\right.;\left\{\begin{matrix} x=1\\y=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$$
    Sẽ hiển thị:
    $$ \left\{\begin{matrix} x+1=1\\y-1=1 \end{matrix}\right.; \left\{\begin{matrix} x=1\\y=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$$
    *Quy tắc: $\left\{\begin{matrix}<pt_1>\\ <pt_2>\\ <pt_3>\\... \\ <pt_n> \end{matrix}\right.$


    *Giải thích:

    +) \begin{matrix}\end{matix} là lệnh gọi và kết thúc ma trận
    +) Ngăn cách mỗi phương trình là dấu “\\”. Đây chính là kí hiệu xuống dòng được giới thiệu ở mục trên.
    +) \left
    \right chính là dấu ngoặc ở mục 4 chương I. Sau \left và \right có thể là: “(“ ; ”)” ; ”[“ ; ”]” ; ”\{“ ; ”\}”. Từ đây ta có thể tạo thêm nhiều dạng hệ phương trình (mặc dù nó không có nghĩa). Ví dụ:

    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $$ \left\{\begin{matrix} x+1=1\\y-1=1 \end{matrix}\right);\left(\begin{matrix} x=1\\y=2\\ z=3 \end{matrix}\right\}$$
    Sẽ hiển thị:
    $$ \left\{\begin{matrix} x+1=1\\y-1=1 \end{matrix}\right);\left(\begin{matrix} x=1\\y=2\\ z=3 \end{matrix}\right\}$$
    *Chú ý
    : Nếu sau \right ta không định cho dấu ngoặc gì thêm thì phải kết thúc bằng dấu chấm "."

    3) Hệ phương trình: P “hoặc” Q

    -Nếu bạn đã thông thạo mục 2. thì mục này cũng sẽ rất đơn giản (gần như y hệt)
    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $$\left[\begin{matrix} x+1=1\\ x-1=1\end{matrix}\right.; \left[\begin{matrix} x=1\\x=2\\x=3\\x=4\end{matrix}\right.$$ 
    Sẽ hiển thị:
    $$\left[\begin{matrix} x+1=1\\ x-1=1\end{matrix}\right.; \left[\begin{matrix} x=1\\x=2\\x=3\\x=4\end{matrix}\right.$$
    *Quy tắc: $\left[\begin{matrix}<pt_1>\\ <pt_2>\\ <pt_3>\\... \\ <pt_n> \end{matrix}\right.$


    4) Kẻ bảng (không có viền)

    Rất đơn giản, bạn chỉ cần loại bỏ phần đánh ngoặc \left\right, giữ lệnh gọi và kết thúc ma trận. Việc duy nhất bạn cần quan tâm là dung kí tự & để ngăn cách các cột trong một hàng.
    VD:
    Ta gõ
    Mã:
     $$ \begin{matrix} x&|&1&2&3&4\\ x-1&|&0&1&2&3\end{matrix}$$ 
    Sẽ hiển thị:
    $$ \begin{matrix} x&|&1&2&3&4\\ x-1&|&0&1&2&3\end{matrix}$$
    *Kí hiệu (a;b) là kí tự (biểu thức) ở dòng a cột b thì ta có quy tắc sau:

    $$\begin{matrix}(1;1) & (1;2) & (1;3) & (1;4) && (1;n)\\ (2;1) & (2;2) & (2;3) & (2;4) && (2;n)\\ (3;1) & (3;2) & (3;3) & (3;4) && (3;n)\\... \\ (m;1) & (m;2) & (m;3) & (m;4) && (m;n) \end{matrix}$$

    Sẽ hiển thị

    $$ \begin{matrix}(1;1) & (1;2) & (1;3) & (1;4) & …& (1;n)\\ (2;1) & (2;2) & (2;3) & (2;4) & …& (2;n)\\ (3;1) & (3;2) & (3;3) & (3;4) & …& (3;n)\\... \\ (m;1) & (m;2) & (m;3) & (m;4) & …& (m;n) \end{matrix}$$
    Ma trận này có $m$ hàng và $n$ cột

    5) Gõ biểu thức nhiều hàng
    VD: Ta gõ
    Mã:
    $$\begin{aligned} A&=4ab\\ &\le (a+b)^2\\ &\le \dfrac{a^2+b^2}{2}\end{aligned} $$
    Sẽ hiển thị $$\begin{aligned} A&=4ab\\ &\le (a+b)^2\\ &\le \dfrac{a^2+b^2}{2}\end{aligned} $$
    Gần giống như ma trận, cách gõ biểu thức nhiều hàng có quy tắc:
    $$\begin{aligned}(1;1) & (1;2) & (1;3) & (1;4) & …& (1;n)\\ (2;1) & (2;2) & (2;3) & (2;4) & …& (2;n)\\ (3;1) & (3;2) & (3;3) & (3;4) & …& (3;n)\\... \\ (m;1) & (m;2) & (m;3) & (m;4) & …& (m;n) \end{aligned}$$

    Sẽ hiển thị:
    $$\begin{aligned}(1;1) & (1;2) & (1;3) & (1;4) & …& (1;n)\\ (2;1) & (2;2) & (2;3) & (2;4) & …& (2;n)\\ (3;1) & (3;2) & (3;3) & (3;4) & …& (3;n)\\... \\ (m;1) & (m;2) & (m;3) & (m;4) & …& (m;n) \end{aligned}$$
    *Chú ý: Ở ví dụ đầu mục ta đã bỏ trống các ô (2;1);(3;1);(4;1) với mục đích căn lề cho các ô (1;2);(2;2);(3;2);(4;2) thẳng nhau.

    *Nhận xét:
    Ta thấy các cột ở hai hàng liên tiếp sẽ tự co lại, từ đó cho ta cách trình bày đẹp hơn so với gọi ma trận (matrix)
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  4. Cái này so với mã TEX cũng không khác là mấy. chỉ thay [TEX][\TEX] bằng $$ thôi mà.[/TEX]
     
  5. monokuru.boo

    monokuru.boo Guest

    Dấu cả cộng cả trừ gõ thế nào vậy các bạn? (Cộng trên còn trừ phía dưới)
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
     
  6. k1a96

    k1a96 Guest

    Sao không có cách gõ logarit vậy bạn ?

    Mình tìm hoài mà ko thấy

    Cảm ơn bạn nhiều.
     
  7. rocket97

    rocket97 Guest

    [TEX]
    Có nhiều cải tiến hơn phptex chứ bạn.
    Công thức toán học sẽ đẹp hơn, dễ nhìn hơn,
    các kí hiệu trở nên rõ ràng và có thể gõ thêm nhiều công thức mới với nhiều tùy chọn hơn, mà trước đây với phptex thì không thể.
    VD: bạn có thể gõ phân số lớn dạng \dfrac và bỏ trong thẻ TEX không? ;)
    [/tex]
     
  8. rocky576

    rocky576 Guest

    Muốn gõ dấu vừa cộng vừa trừ bạn dùng code là:
    \pm nhé, kết quả là: $\pm$ :D
     
  9. rocket97

    rocket97 Guest

    Để gõ logarit thập phân bạn dùng code là: \log x
    ví dụ: $\log x$
    Để gõ logarit tự nhiên bạn dùng code tương tự nhưng thay \log bằng \ln
    ví dụ: $\ln x$
    Để gõ logarit cơ số bất kì bạn gõ là: \log _{cơ số} x
    ví dụ: $\log _2 x$
     
  10. o.0l0_o

    o.0l0_o Guest

    đuối ngại đọc :D , ngại nhớ 8-} :( cho nên mỗi lần muốn post bài lên diễn đàn :khi (73):
     
  11. duc_2605

    duc_2605 Guest

    Mình thấy dùng cái $ cũng bất tiện mà.
    Nhìn lỗi này:
    Bài 2. Đổi
    VD: $\sqrt[{49}$ = 7 (vì $7^2$ = 49)
    a) $\sqrt[2]{2500}
    b)-$\sqrt[2]{0,64}
    c)$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$
    d) -$\sqrt[2]{0,09}
    e) $\sqrt{\dfrac{0,25}{225}}$
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng bảy 2013
  12. Đúng như lời hứa, hôm nay mình sẽ hướng dẫn các bạn cách khắc phục tình trạng treo máy do sử dụng LaTeX mới ;)
    Diễn đàn chúng ta sử dụng MathJax để hiển thị công thức Toán (bạn có thể tìm hiểu thêm về MathJax tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/MathJax). Theo hướng dẫn sau trên trang mathjax.org: http://www.mathjax.org/help/user/ để tăng tốc độ hiển thị công thức Toán của MathJax thì trên máy của các bạn cần cài thêm các fonts STIX.
    Tải các fonts STIX ở đây: http://www.stixfonts.org/
    Tuy nhiên, việc cài các fonts này với những bạn không rành về công nghệ thông tin thì không dễ dàng chút nào :(, vì thế mình khuyên các bạn nên dùng cách sau: Tải và cài đặt chương trình MathCast (một chương trình hỗ trợ gõ công thức Toán tương tự MathType): http://mathcast.sourceforge.net/download.html . Trong quá trình cài đặt chương trình sẽ tự động cài phiên bản mới nhất của các fonts STIX cho bạn ;)
    Sau khi cài đặt các fonts STIX thì tốc độ hiển thị LaTeX sẽ tăng lên rất nhiều, không còn tình trạng bị treo máy nữa nhưng theo ý kiến cá nhân của mình, công thức trước khi cài fonts STIX hiển thị đẹp hơn sau khi cài fonts STIX :(
    Trước khi cài fonts:

    [​IMG]

    Sau khi cài fonts:

    [​IMG]

    p.s: Sau khi có hướng dẫn này rồi các bạn cố gắng sử dụng LaTeX mới nhé :D
     
  13. boy8xkute

    boy8xkute Guest

    mình thử chút nha: I = [TEX]\int \frac{(1 + tan^{2}t)dt}{tan^{4}t + 1}[/TEX]
     
  14. hangkute205

    hangkute205 Guest

    Mình mới tham gia diễn đàn, nhờ mọi người giúp mình với, muốn gõ kết quả gần cuối của tích phân, lúc mà ra còn lại cận chạy từ a đến b đặt trên dấu sọc đứng thì gõ như thế nào a! Mình cảm ơn!
     
  15. anmajmodel

    anmajmodel Guest

    $\vec{P};\vec{T}(0;1);\vec{F}.\vec{i}$ fsdfdsfdsfsdf
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->