Giả sử tồn tại [imath]a[/imath] thỏa mãn đề bài.
Đặt [imath]a=[a]+x[/imath] thì [imath]x \in [0,1)[/imath].
Nếu [imath]x=0[/imath] thì xét số [imath]n=a[/imath]. Khi đó [imath]n \notin A \Rightarrow n \in B \Rightarrow a>2a+1 \Rightarrow a<-1[/imath]
Với [imath]x \neq 0[/imath]. Xét số [imath]n=[a]+1[/imath]. Vì [imath]n>a[/imath] nên [imath]n \notin A \Rightarrow n \in B[/imath].
[imath]\Rightarrow [a]+1>2a+1 \Rightarrow [a]>2([a]+x) \Rightarrow -[a]>2x[/imath]
Nếu [imath]x \in (0,\dfrac{1}{2})[/imath] thì [imath]-[a] \geq 1 \Rightarrow [a] \leq -1 \Rightarrow a=[a]+x<-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}[/imath]
Nếu [imath]x \in [\dfrac{1}{2},1)[/imath] thì [imath]-[a] \geq 2 \Rightarrow [a] \leq -2 \Rightarrow a=[a]+x<-1[/imath]
Kết hợp lại ta được [imath]a<-\dfrac{1}{2},a \neq -1[/imath]. Ta sẽ chứng minh đây là điều kiện đủ.
Giả sử tồn tại [imath]n \in \mathbb{Z}[/imath] sao cho [imath]n \notin A,n \notin B[/imath].
Điều đó tương đương với [imath]a \leq n \leq 2a+1[/imath].
Với [imath]a < -1[/imath] thì [imath]2a+1<a[/imath] nên không thể có bất đẳng thức trên.
Xét [imath]-1 < a <-\dfrac{1}{2}[/imath]
Khi đó [imath]2a+1 <0[/imath] nên từ bất đẳng thức ta có [imath]-1 < a \leq n \leq 2a+1<0[/imath]. Hiển nhiên không tồn tại [imath]n[/imath].
Vậy điều kiện cần và đủ của bài toán là [imath]a<-\dfrac{1}{2},a \neq -1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Mệnh đề, tập hợp
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
