với[TEX] n \in N*[/TEX]
cmr :[TEX]|sin (nx)| \leq n|sinx|[/TEX] (*)
-Với n=1 (*) trở thành
[TEX]|sinx| \leq |sinx|[/TEX] ( lđ)
vậy pt(* )luôn đúng khi n=1
-n=2=> (*) \Leftrightarrow[TEX]|sin(2x)| \leq 2|sinx|[/TEX]
ta có [TEX]|sin (2x)|=|2sinxcosx|=2|sinx| |cosx| \leq 2 |sinx|[/TEX]
...
giả sử (*) đúng khi n=k
tức là ta luôn có
[TEX]|sin(kx)| \leq k|sinx| (1)[/TEX]
ta cần chứng minh (*) đúng khi [TEX]n=k+1[/TEX]
ta có [TEX]|sin(k+1)x|=|sin(kx+x)|=|sin(kx)cosx+cos(kx)sinx| \leq |sinkxcosx|+|cos(kx)sinx|[/TEX]
[TEX]\leq |sin(kx)||cosx|+|cos(kx)||sinx| [/TEX]
[TEX]\leq |sin(kx)|+|sinx| [/TEX](vì [TEX]1\geq cosx, cos(kx) \geq 0[/TEX])
[TEX]\leq k|sinx|+|sinx| (theo (1) )[/TEX]
[TEX]=> |sin(k+1)x| \leq (k+1) |sinx| [/TEX]
vậy (*) luôn đúng khi n=k+1
vậy (*) đúng với [TEX]n\in N*[/TEX]
Last edited by a moderator: