Ta có công thức [imath]l_a=\dfrac{2bc}{b+c}\cos \dfrac{A}{2}[/imath]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
[imath](l_a+l_b+l_c)^2 \leq [\dfrac{4b^2c^2}{(b+c)^2}+\dfrac{4c^2a^2}{(c+a)^2}+\dfrac{4a^2b^2}{(a+b)^2}](\cos ^2\dfrac{A}{2}+\cos ^2\dfrac{B}{2}+\cos ^2\dfrac{C}{2})[/imath]
Ta có: [imath]\cos ^2\dfrac{A}{2}+\cos ^2\dfrac{B}{2}+\cos ^2\dfrac{C}{2}=\dfrac{\cos A+\cos B+\cos C+3}{2} \leq \dfrac{\dfrac{3}{2}+3}{2}=\dfrac{9}{4}[/imath]
[imath]\dfrac{4b^2c^2}{(b+c)^2}+\dfrac{4c^2a^2}{(c+a)^2}+\dfrac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \leq \dfrac{4b^2c^2}{4bc}+\dfrac{4c^2a^2}{4ac}+\dfrac{4a^2b^2}{ab}=ab+bc+ca \leq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2[/imath]
[imath]\Rightarrow (l_a+l_b+l_c)^2 \leq \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2 \Rightarrow l_a+l_b+l_c \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\Delta ABC[/imath] đều.
Khi đó [imath]\hat{A}^2+\hat{B}^2+\hat{C}^2=...[/imath] bạn tự tính nhé.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Trọn bộ kiến thức học tốt TẤT CẢ các môn học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
