Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M.
a. Chứng minh: [tex]\frac{AB}{AE}=\frac{BS}{ME}[/tex]
b. Chứng minh: [tex]\Delta AEM \sim \Delta ABS[/tex]
c. Gọi N là giao của AM và EF, P là giao của AS và BC. Chứng minh: [tex]NP\perp BC[/tex]
a) Ta có: $\frac{AE}{AB}=cos$ $\widehat{BAE}$
$ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của $\Delta BEC$ vuông tại C
$=> ME=BM(=\frac{1}{2}BC)$
Ta có: $\Delta BMS \sim \Delta OBS$
$=>\frac{BM}{BS}=\frac{ME}{BS}=\frac{OB}{OS}=cos\widehat{BOS}$.
Ta thấy: $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp $(O)$ chắn cung $BC$; $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm đường tròn
$=> \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$(1).
Lại có: $\Delta BOC$ cân tại $O$ có $OM \perp BC=>$ $OM$ là phân giác $\widehat{BOC}$
$=> \widehat{BOS}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$(2).
Từ (1) và (2) $=> \widehat{BAC}=\widehat{BOS}$ hay $cos\widehat{BAE}=cos\widehat{BOS}$
$=> \frac{AE}{AB}=\frac{ME}{BS}=>\frac{AB}{AE}=\frac{BS}{ME}$.(*)
b) Trong hình tui vẽ thiếu đoạn OA rồi :v.
Lần lượt $\Delta AOB$ và $\Delta BEM$ là các tam giác cân tại $O$ và $M$.
Theo câu a: $cos\widehat{BAE}=cos\widehat{BOS}=> sin\widehat{BAE}=sin\widehat{BOS}$
$=> \frac{BE}{BA}=\frac{BM}{BO}=> \frac{BE}{BA}=\frac{BM}{BO}=\frac{ME}{OA}$
$=> \Delta AOB \sim \Delta BEM=> \widehat{OBA}=\widehat{MBE}$
$=>\widehat{OBA}+90^o=\widehat{MBE}+90^o=> \widehat{ABS}=\widehat{AEM}$(**)
Từ (*) và (**)$=> \Delta AEM \sim \Delta ABS (c-g-c)$
c) Theo câu b $\Delta AEM \sim \Delta ABS=> \frac{AM}{AS}=\frac{AE}{AB}$(3)
C/m được $\Delta AEF \sim \Delta ABC=> \widehat{AEN}=\widehat{ABP}$
Xét $\Delta ANE$ và $\Delta APB$:
$\widehat{AEN}=\widehat{ABP}$
$\widehat{NAE}=\widehat{PAB}(\widehat{MAE}=\widehat{SAB})$
$=> \Delta ANE \sim \Delta APB( g-g)$
$=> \frac{AN}{AP}=\frac{AE}{AB}$(4)
Từ (3) và (4)$=>\frac{AN}{AP}=\frac{AM}{AS}=> \frac{ AP}{AS}=\frac{AN}{AM}(5)$
Theo Ta-let đảo thì từ (5) $=> NP//MS$.
Mà $MS \perp BC=> NP\perp BC$.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
