Toán 9 Tam giác có đường cao, phân giác, trung tuyến đồng quy

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC có [tex]\widehat{ABC}=60^{\circ}[/tex] thỏa mãn đường cao kẻ từ A, phân giác trong kẻ từ B và trung tuyến kẻ từ C cắt nhau tại 1 điểm. Tìm số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

 

[Vũ Hà Quỳnh Giang]

Gọi AH, BE, CF lần lượt là đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ A, B, C.
AH, BE, CF đồng quy tại O.
Vì BE là đường phân giác góc B nên ta có: [tex]\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=30^{\circ}[/tex] (1)
Xét [tex]\Delta ABH[/tex]: [tex]\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAH}=30^{\circ}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: [tex]\widehat{ABE}=\widehat{BAH}\Rightarrow \Delta ABO[/tex] cân tại O
Mà OF là đường trung tuyến nên suy ra OF cũng là đường cao [tex]\Leftrightarrow[/tex] CF là đường cao.
Xét [tex]\Delta CAB[/tex] có CF vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến[tex]\Rightarrow \Delta CAB[/tex] cân tại C (3)
Mặt khác ta có: [tex]\widehat{ABC}=60^{\circ}(gt)[/tex] (4)
Từ (3) và (4) suy ra [tex]\Delta CAB[/tex] là tam giác đều
Vậy [tex]\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^{\circ}[/tex]