Tam giác ABC nhọn trực tâm H.Lấy M thuộc cung BC nhỏ.Xác định M để tứ giác BHCM là hình bình hành

[goodgirla1city]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]\triangle \ ABC[/TEX] nhọn.Trực tâm[TEX] H [/TEX]. [TEX]M \in \ [/TEX] cung[TEX] BC [/TEX]nhỏ

a) Xác định[TEX] M [/TEX]đề tứ giác [TEX]BHCM[/TEX] là hình bình hành
b)Gọi[TEX] N, E[/TEX] đối xứng với [TEX]M[/TEX] qua [TEX]AB[/TEX] và [TEX]AC[/TEX].CMR: [TEX]N,H,E [/TEX]thẳng hàng
c) Tìm vị trí của [TEX]M[/TEX] để [TEX]NE[/TEX] max
~X(~X(~X(~X(

 

[congchuaanhsang]

a, Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
OA cắt đương tròn (O) ở M. Ta sẽ cm M là điểm cần tìm.
Thật vậy, kẻ OK vuông góc với AC (K thuộc AC)
\RightarrowAK=CK
OK là đường trung bình của tam giác AMC
\RightarrowOK song song với MC ; MC=2OK
\RightarrowMC song song với BH (1)
Dễ dàng cm đk BH=2OK\RightarrowBH=MC (2)
Từ (1) và (2)\RightarrowBHCM là hình bình hành.
b, MN cắt AB ở P, ME cắt AC ở Q
Kẻ đường cao AD của tam giác ABC
\Rightarrow$\hat{CHD}$=$\hat{ABC}$
Tứ giác ABMC nội tiếp\Rightarrow$\hat{ABC}$=góc AMC
\Rightarrow$\hat{ABC}$=$\hat{AEC}$
\Rightarrow$\hat{CHD}$=$\hat{AEC}$\RightarrowTứ giác AHCE nội tiếp.
\Rightarrow$\hat{CHE}$=$\hat{CAE}$=$\hat{CAM}$ (3)
Tương tự ta có $\hat{BHN}$=$\hat{BAM}$ (4)
$\hat{BHC}$=$\hat{NME}$ (góc có cạnh tương ứng song song cùng chiều)
Tứ giác APMQ nội tiếp\Rightarrow$\hat{PMQ}$+$\hat{BAC}$=$180^0$
\Rightarrow$\hat{BHC}$+$\hat{BAC}$=$180^0$ (5)
Từ (3),(4) và (5)\Rightarrow$\hat{BHN}$+$\hat{BHC}$+$\hat{CHE}$
=$\hat{PMQ}$+$\hat{BAC}$=$180^0$
\Rightarrowđpcm
c, Dễ dang cm đk $\hat{NAE}$=2$\hat{BAC}$
Tam giác NAE cân ở A có $\hat{NAE}$ ko đổi nên NE max\LeftrightarrowAN max
Mà AN=AM nên AN max\LeftrightarrowAM max
\LeftrightarrowAM là đường kính của đường tròn (O)