Starloves – [ math 11 ]

[nkok23ngokxit_baby25]

Trong một cấp số cộng ta đặt $ S_{k} = U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{k} $
a, cho biết $ S_{m}=n $ và $S_{n}=m$ với ( m khác n ) . Hãy tính $S_{m+n}$
b, cho biết $ S_{m} = S_{n} $ với ( m khác n ) . Hãy tính $S_{m+n}$

(*)$S+m =n; S_n =m$

$$S_m = \dfrac{m}{2}.[ 2.U_1 + (m-1).d ]$$

$$S_n = \dfrac{n}{2}.[ 2.U_1 + (n-1).d ]$$

$$\Longleftrightarrow\dfrac{m}{2}.[ 2U_1 + (m-1).d ] - \dfrac{n}{2}.[ 2U_1 + (n-1).d ] = n - m$$

$$\Longleftrightarrow {2U_1.(m-n) + d.[ m.(m-1) - n.(n-1) ]} = 2(n-m)$$

$$\Longleftrightarrow ...................................................$$

$$\Longleftrightarrow (m-n).[2U_1 + d.(1- m - n ) - 2] = 0$$

m # n​

$$ \Longleftrightarrow d = \dfrac{2.(1-U_1)}{1 - m -n}$$

$$\Longleftrightarrow S_{m+n} = \dfrac{m+n}{2}.[ 2U_1 + (m + n - 1).\frac{2.(1-U_1)}{m+n-1} ]$$

$$\Longleftrightarrow S_{m+n} = -m-n$$

(*) $S_m = S_n$

$$\Longleftrightarrow \dfrac{m}{2}.[ 2U_1 + (m-1).d ] = \dfrac{n}{2}.[ 2U_1 + (n-1).d ] $$

$$\Longleftrightarrow .......................$$

$$\Longleftrightarrow (m-n).[ 2U_1 + d.(m+n-1) ] = 0$$

m # n​

$$\Longleftrightarrow d = \dfrac{-2.U_1}{m+n-1}$$

$$\Longleftrightarrow S_{m+n} = \dfrac{m+n}{2}.[ 2U_1 + (m+n-1).\frac{-2.U_1}{m+n-1}]$$

$$\Longleftrightarrow S_{m+n} = 0$$

 

[jelouis_96]

Bài 1 :Cho dãy Fibonacci xác định bởi :$$\left\{\begin{matrix}
F_{0}=0\\F_{1}=1
\\ F_{n+1}=F{n}+F_{n-1}
\end{matrix}\right.$$
Chứng minh các đẳng thức sau :
$$1)F^2_{n}+F^2_{n+1}=F_{2n+1} $$
$$2)F_{m+n+1}=F_{m+1}F_{n+1}+F_{m}F_{n}$$
$$3)F_{3n}=F^3_{n+1}+F^3_{n}-F^3_{n-1}$$
Bài 2:Cho dãy Lucas xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}
L_{1}=1\\L_{2}=3
\\ L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}
\end{matrix}\right.$$
Và dãy Fibonacci xác định bởi : $$\left\{\begin{matrix}
F_{0}=0\\F_{1}=1
\\ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}
\end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $F_{2n}=F_{n}L_{n}$ với mọi số nguyên dương n.

Bài 3:Hãy lập các dãy số Farey bậc 9 và bậc 10.

 

[cuimuoimuoi_1969]

III. Dãy số- cấp số cộng

3. 1 Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$, ta có:

$$a) 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n.(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$b) 1^3+2^3+... +n^3=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$$

$$c) 1.4+2.7+...+n.(3n+1)=n.(n+1)^2$$

d) (n \geq3)​

$$2^n> n+1$$

$$e)2^{n+2} > 2n +5$$

3. 2 Chứng minh rằng với mọi n \geq N^*, ta có:

$$a) n^3+11nv\vdots6$$

$$b) n^3 +3.n^2+5n \vdots3$$

$$c) 7.2^{2n-1}+3^{2n-1} \vdots5$$

3. 3 Tìm số hạng đầu, công sai, số hạng thứ 15 và tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng vô hạn (un), biết:

$$a) \begin{cases}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=17\end{cases}$$

$$b)\begin{cases}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{cases}$$

$$c) \begin{cases}u_2+u_5-u_3=10\\u_4+u_6=26\end{cases}$$

$$d)\begin{cases}u_3=-15\\u_14=18\end{cases}$$

$$e)\begin{cases}u_1+u_3+u_5=-12 \\ u_1.u_2.u_3=8 \end{cases}$$

$$f) \begin{cases}u_7+u_15=60\\(u_4)^2+(u_12)^2=1170 \end{cases}$$

3. 4 a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.

b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.

3. 5 a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66.

3. 6 a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.

b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30. Tìm số đo của các góc đó.

c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó.

3. 7 Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với:

$$a)x=b^2 +b ; c +c^2 ; y=c^2+ca+a^2 ; z=a^2 +ab+b^2$$

$$b)x=a^2-bc ; y=b^2-ca ; z=c^2-ab$$

3. 8 Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

$$ a) a=10-3x . b=2.x^2 +3 . c=7-4.x$$

$$b) a=x+1. b=3x-2. c=x^2 -1$$

P/s: cái tên jelouis kia đăng toàn bài khó, tớ chả biết gì cả (

 

[nhoka3]

3.2
$a)n^3+11n\vdots 6(1)$
+với $n=1$
$1^3+11.1\vdots 6(đúng)$
+giả sử: $(1)$ đúng khi $n=k $
khi đó $ k^3+11k\vdots 6$
+ta cần phải chứng minh $(1)$ đúng khi $n=k+1$
nghĩa là $(k+1)^3+11(k+1)\vdots 6$
thật vậy $(k+1)^3+11(k+1)=k^3+11k+3k^2+3k+12=k^3+11k+3k(k+1)+12$
ta có $k^3+11k\vdots 6$
$3k(k+1)\vdots 6$
$12\vdots 6$
\Rightarrow $(k+1)^3+11(k+1)\vdots 6$
+vậy $n^3+11n\vdots 6(1)$

mình nhác viết quá mình làm từ bước 3 trở đi nha (từ dấu + thứ 3)
câu b) bạn làm tương tự nha
$(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=k^3+3k^2+5k+3k^2+9k+9=k^3+3k^2+5k+3(k^2+3k+3)$
câu c)
$7.2^{2(k+1)−1}+3^{2(k+1)−1}=7.2^2.2^{2n-1}+3^2.3^{2n-1}=4(7.2^{2n-1}+3^{2n-1})+5.3^{2n-1}\vdots 5$

 

[binbon249]

3. 3 Tìm số hạng đầu, công sai, số hạng thứ 15 và tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng vô hạn (un), biết:

$$b)\begin{cases}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{cases}$$

 

[jelouis_96]

3. 1 Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$, ta có:

$$a) 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n.(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$b) 1^3+2^3+... +n^3=[\dfrac{n(n+1)}{2}]^2$$

Trước tiên ta tính tổng của $S(n)=1+2+3+....+n = \sum_{1}^{n}k$
Xét $\Delta k^2=(k+1)^2-k^2=2k+1$ Suy ra $k=\frac{\Delta k^2-1}{2}$
$$\Longrightarrow S(n)=\sum_{1}^{n}k = \frac{1}{2}(\sum_{1}^{n}\Delta k^2-\sum_{1}^{n}1)$$
$$\Longrightarrow S(n)=\frac{1}{2}((n+1)^2-1-n)=\frac{n(n+1)}{2}$$
$a)I(n)=1^2+2^2+...+n^2 = \sum_{1}^{n}k^2 $
Xét $\Delta k^3=(k+1)^3-k^3 = 3k^2 + 3k+1 \Longrightarrow k^2=\frac{\Delta k^3-3k-1}{3}$
Suy ra $$I(n) = \sum_{1}^{n}k^2 = \frac{1}{3}(\sum_{1}^{n}\Delta k^3-\sum_{1}^{n}3k-\sum_{1}^{n}1)$$
$$=\frac{1}{3}((n+1)^3-1-3\frac{n(n+1)}{2}-n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
b)Xét $\Delta k^4 = (k+1)^4-k^4=4n^3+6n^2+4n+1 \Longrightarrow k^3=\frac{\Delta k^4-6k^2-4k-1}{4}$
$$J(n)=1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \sum_{1}^{n}k^3$$
$$=\frac{1}{4}(\sum_{1}^{n}\Delta k^4 - 6\sum_{1}^{n}k^2 - 4\sum_{1}^{n}k-\sum_{1}^{n}1)$$
$$=\frac{1}{4}((n+1)^4-1-6(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})-4(\frac{n(n+1)}{2})-n)$$
$$=\frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2)=(\frac{n(n+1)}{2})^2 $$

 

[cuimuoimuoi_1969]

còn nữa kìa
mn giải nhanh đi
tớ sẽ đăng thêm bài tập mới nha
hì hì

 

[hocmaitlh]

chào mọi người .

cũng khá lâu tớ ko onl rùi . chuyện buồn cũng có , chuyện vui cũng có .

hum nay chở lại thấy nhóm hoạt động rất tốt , tớ thấy rất vui .......

nhưng tớ có 1 ý kiến nhỏ này mong các bạn tham khảo để nhóm hoạt động tốt hơn.

tớ thấy giờ mức học của mọi ngươif khác nhau do học nhanh và học chậm

nên tớ nghĩ nếu ai để ý đến cách học của mình và cách học trên này thì chúng ta đều thấy

đk sự khác nhau đó phải ko . mà thời gian ko phải là vô hạn phải ko .....ai cũng phải hoàn

thành các bài tập trên lớp rồi lôi sách tham khảo ra để đọc ....vấn đề nào ko hiểu , ko giải

thì post lên đây nhờ bạn bè, Chao đổi cách học tốt mỗi dạng toán với nhau để có thêm kinh nghiệm .....

nhiều bạn thì học các phần này đã lâu rùi hoặc chưa học ....bạn đó đang theo đổi 1 phần khác thì làm sao bây giờ . Trong khi đó nhóm đang đi theo 1 chuyên mục khác ....

nhiều khi nghĩ liệu học trên này có thật sự tốt hơn không ? câu trả lời là : có nhưng phải biết cách .

vậy để nhóm hoạt động tốt tớ có ý này :

ai có bài tập ko giải đk , hay thắc mắt về 1 vấn đề nào đó mà trên lớp ko tiên chao đổi thì cùng post lên để cả nhóm cho ý kiến và làm giúp nhưng tuyệt đối không đk chém gió trong píc vì khi đó tính tự học của chúng ta được nân lên rất nhiều .

tớ lấy ví dụ thế này nha :

để cho mọi người tin điều tớ nói là đúng thì tớ lấy ví dụ trên bản thân tớ luôn.

giờ thì không biết toán học đến phần nao rồi nhưng tớ đang theo học phần : dùng đạo hàm để giải phương trình , hệ pt , biện luân phương trình , cm bất đẳng thức .......vv

mà nhiều khi tớ có bài tập ko giải đk thì làm sao đây ? hỏi ai đây vì nhiều khi tự học là chủ yếu , trong khi đó nhóm lại đang học phần khác thì tớ phải làm gì đây ...

bỏ phần mình đanh học để học phần nhóm đang học sao ? hay là chia thêm thời gian cho phần đó nữa . thế liệu có tốt ko .....

theo kinh nghiệm của tớ nhận đk tớ nhiều người thì chúng ta nên chuyên tâm vào phần đang hoc , học hết mình phần đó sau đó ôn lại cũng đk ....khi đó thì có 1 nền tản vững vàng.

tớ nghĩ có lẽ mọi ngươif đều có suy nghĩ đó đúng ko ?

vậy thì khi nào ai có bài nào ko giải đk hay vẫn đề nào ko hiểu thì đã đk giải quyết rồi phải ko . mỗi nơi học mỗi kiểu nên phương án này có lẽ mọi người nên tham khảo .......tk mọi người đã đọc bài tớ .

 

[nkok23ngokxit_baby25]

3. 8 Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

$$ a) a=10-3x . b=2.x^2 +3 . c=7-4.x$$

$$\Longleftrightarrow 2x^2 + 3 = \dfrac{(10 - 3x) + (7 - 4x)}{2}$$

$$\Longleftrightarrow..................$$

$$\Longleftrightarrow 4x^2 + 7x - 11 = 0 $$

$$\Longleftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = \dfrac{-11}{4} \end{cases}$$

$$b) a=x+1. b=3x-2. c=x^2 -1$$

$$\Longleftrightarrow 3x - 2 = \dfrac{(x + 1) + ( x^2 - 1)}{2}$$

$$\Longleftrightarrow .........................$$

$$\Longleftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$$

$$\Longleftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = 4 \end{cases}$$

p/s: thông cảm tính lười trỗi dậy

 

[starlove_maknae_kyuhyun]

Bài 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonacci xác định bởi :
$$\left\{\begin{matrix}
F_{0}=0,F_{1}=1\\F_{n+1}=F_{n}+F{n-1}
\end{matrix}\right.$$

Xét phương trình đặc trưng :

$ x^2 - x-1=0 \\ \Longleftrightarrow x_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2} $

$ U_n = \alpha (\frac{1+ \sqrt{5}}{2})^{n} + \beta (\frac{1- \sqrt{5}}{2})^{n} $ (1)

Từ $ U_{0} = 0 $ và $ U_{1} =1 $
suy ra :
$ \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} $ ;
$ \beta =- \frac{1}{\sqrt{5}}$

Thế vào (1) ta có cong thức tổng quát của dãy số

 

[gaconbuongbinh_253]

3. 5 a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.
gọi 3 số hạng thêo thứ tự trong dãy csc là a,b,c
ta có :b=[TEX]\frac{a+c}{2}[/TEX]\Rightarrow a+c=2b(1)
theo gải thiết
a+b+c=27(2)
và a^2+b^2+c^2=293(3)
lấy (2)-(1) \Leftrightarrow 3b=27\Leftrightarrow b=9
\Rightarrow[TEX]\left{\begin{a+c=18}\\{a^2+c^2=293-9^2} [/TEX]
từ hệ phương trình suy ra
[TEX]\left[\begin{c=14,a=4}\\{a=14,c=4} [/TEX]
vậy dãy số:4;9;14 hoặc 14;9;4

 

[hocmaitlh]

mọi người sao vậy ko ai làm là sao rùi chán phần này sao ?

hay tớ đổi không khí tý nha .....xin phép mọi người

1 )tìm m để hệ sau có nghiệm

[TEX]x^3-y^3+3y^2-3x-2=0[/TEX]
và [TEX]x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+m=0[/TEX]

2) tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

[TEX]x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})[/TEX]

3) tìm m để hệ sau có nghiệm

[TEX]x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=5[/TEX]
và [TEX]x^3+y^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=15m-10[/TEX]

 

[hocmai.toanhoc]

mọi người sao vậy ko ai làm là sao rùi chán phần này sao ?

hay tớ đổi không khí tý nha .....xin phép mọi người



3) tìm m để hệ sau có nghiệm

[TEX]x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=5[/TEX]
và [TEX]x^3+y^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=15m-10[/TEX]

Các em tham khảo cách làm bài 3 nhé!

 

[hocmaitlh]

1 )tìm m để hệ sau có nghiệm [/COLOR][/B]

[TEX]x^3-y^3+3y^2-3x-2=0 (1) [/TEX]
và [TEX]x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}+m=0 (2) [/TEX]

đk :[TEX] (-1)\leq x\leq 1[/TEX] và [TEX]0\leq y\leq 2[/TEX]
đặt t=x+1 [TEX] ( 0\leq t \leq 2)[/TEX]
pt (1) trở thành :[TEX] t^3-3t^2=y^3-3y[/TEX]
giải ra tìm đk : t=y
thay vào (2) ta đk :[TEX] x^2-2\sqrt{1-x^2}+m=0 (4)[/TEX]
đặt[TEX] v=\sqrt{1-x^2} (0\leq v\leq 1)[/TEX]
(4) trở thành :[TEX] v^2+2v-1=m[/TEX]
xét hàm số :[TEX] f(v)=v^2+2v-1[/TEX] liên tục trên [TEX]\left[0;1 \right][/TEX]
[TEX]f'(v)=2v+2>0[/TEX]
[TEX]min f(v)=f(0)=-1 [/TEX];[TEX] max f(v)=f(1)=2[/TEX]
căn cư vào bản biến thiên ( tớ ngại vẽ lắm ) thì giá trị thoả mãn của m : [TEX](-1)\leq m\leq 2[/TEX]