Toán 9 Số vô tỉ

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Chứng minh rằng [tex]\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/tex] là số vô tỉ.
Giả sử $a = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ là số hữu tỉ
$\implies a^3 = 12 + 9a$
$\implies a^3 - 9a - 12 = 0$
Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$
Mà theo định lý về nghiệm hữu tỉ thì $a$ chỉ có thể là $\pm 12$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$. Thử lại thì không có nghiệm nào thỏa, vô lý. Do vậy $a$ không phải là số hữu tỉ

Nếu bạn muốn chứng minh lại định lý thì có thể đặt $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Khi đó pt tương đương $$p^3 - 9pq^2 - 12q^3 = 0$$
Chuyển số hạng đầu qua có $q(-9pq - 12q^2) = -p^3$. Suy ra $p^3$ chia hết cho $q$ hay $q = 1$
Chuyển số hạng cuối qua có $p(p^2 - 9q^2) = 12q^3$. Suy ra $12q^3$ chia hết cho $p$ hay $12$ chia hết cho $p$...
 

Nguyễn Quế Sơn

Học sinh chăm học
Thành viên
17 Tháng năm 2019
413
474
76
19
Nghệ An
Trường THCS BL
Giả sử $a = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ là số hữu tỉ
$\implies a^3 = 12 + 9a$
$\implies a^3 - 9a - 12 = 0$
Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$
Mà theo định lý về nghiệm hữu tỉ thì $a$ chỉ có thể là $\pm 12$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$. Thử lại thì không có nghiệm nào thỏa, vô lý. Do vậy $a$ không phải là số hữu tỉ

Nếu bạn muốn chứng minh lại định lý thì có thể đặt $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Khi đó pt tương đương $$p^3 - 9pq^2 - 12q^3 = 0$$
Chuyển số hạng đầu qua có $q(-9pq - 12q^2) = -p^3$. Suy ra $p^3$ chia hết cho $q$ hay $q = 1$
Chuyển số hạng cuối qua có $p(p^2 - 9q^2) = 12q^3$. Suy ra $12q^3$ chia hết cho $p$ hay $12$ chia hết cho $p$...
E không hiểu chỗ "Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$"
Định lý về nghiệm hữu tỉ như thế nào vậy a?
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
E không hiểu chỗ "Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$"
Định lý về nghiệm hữu tỉ như thế nào vậy a?
Do thay $x = a$ vào thì thỏa phương trình, vậy $a$ là một nghiệm của pt.

Giả sử phương trình $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ nguyên và nguyên tố cùng nhau thì $a_n$ chia hết cho $q$, $a_0$ chia hết cho $p$.

Định lý này thường dùng để nhẩm nghiệm các phương trình đơn giản.
 
Top Bottom