Toán 9 Số vô tỉ

[nhatminh1472005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng [tex]\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/tex] là số vô tỉ.

 

[mỳ gói]

Chứng minh rằng [tex]\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/tex] là số vô tỉ.

Coi cái bổ đề thoiii

 

[iceghost]

Chứng minh rằng [tex]\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/tex] là số vô tỉ.

Giả sử $a = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ là số hữu tỉ
$\implies a^3 = 12 + 9a$
$\implies a^3 - 9a - 12 = 0$
Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$
Mà theo định lý về nghiệm hữu tỉ thì $a$ chỉ có thể là $\pm 12$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$. Thử lại thì không có nghiệm nào thỏa, vô lý. Do vậy $a$ không phải là số hữu tỉ

Nếu bạn muốn chứng minh lại định lý thì có thể đặt $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Khi đó pt tương đương $$p^3 - 9pq^2 - 12q^3 = 0$$
Chuyển số hạng đầu qua có $q(-9pq - 12q^2) = -p^3$. Suy ra $p^3$ chia hết cho $q$ hay $q = 1$
Chuyển số hạng cuối qua có $p(p^2 - 9q^2) = 12q^3$. Suy ra $12q^3$ chia hết cho $p$ hay $12$ chia hết cho $p$...

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Giả sử $a = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ là số hữu tỉ
$\implies a^3 = 12 + 9a$
$\implies a^3 - 9a - 12 = 0$
Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$
Mà theo định lý về nghiệm hữu tỉ thì $a$ chỉ có thể là $\pm 12$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$. Thử lại thì không có nghiệm nào thỏa, vô lý. Do vậy $a$ không phải là số hữu tỉ

Nếu bạn muốn chứng minh lại định lý thì có thể đặt $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Khi đó pt tương đương $$p^3 - 9pq^2 - 12q^3 = 0$$
Chuyển số hạng đầu qua có $q(-9pq - 12q^2) = -p^3$. Suy ra $p^3$ chia hết cho $q$ hay $q = 1$
Chuyển số hạng cuối qua có $p(p^2 - 9q^2) = 12q^3$. Suy ra $12q^3$ chia hết cho $p$ hay $12$ chia hết cho $p$...

E không hiểu chỗ "Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$"
Định lý về nghiệm hữu tỉ như thế nào vậy a?

 

[iceghost]

E không hiểu chỗ "Xét pt $x^3 - 9x - 12 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ là $x = a$"
Định lý về nghiệm hữu tỉ như thế nào vậy a?

Do thay $x = a$ vào thì thỏa phương trình, vậy $a$ là một nghiệm của pt.

Giả sử phương trình $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$ có một nghiệm hữu tỉ $x = \dfrac{p}q$ với $p, q$ nguyên và nguyên tố cùng nhau thì $a_n$ chia hết cho $q$, $a_0$ chia hết cho $p$.

Định lý này thường dùng để nhẩm nghiệm các phương trình đơn giản.