- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Số phức là gì?
Như ta đã biết, có rất nhiều phương trình vô nghiệm trên tập số thực R. Ví dụ như: [TEX]x^2+1=0[/TEX]. Phương trình này vô nghiệm trên tập số thực.
Để hiện thực hóa ước mơ "phương trình nào cũng có nghiệm", người ta tiến hành mở rộng tập số thực R lên tập số phức C. Cấu tạo của 1 số phức z có dạng: [TEX]z=a+bi[/TEX], với [TEX]a,b[/TEX] là các số thực.
Còn [TEX]i[/TEX] là đơn vị ảo. Và quy ước [TEX]i^2=-1[/TEX]. Nhờ đơn vị ảo này mà mọi phương trình đa thức bậc n đều có nghiệm.
+ a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. Lưu ý phần ảo là b chứ không phải b.i
+ Nếu b=0 thì ta có z=a, z là 1 số thực như đã học.
+ Nếu a=0 thì ta có z=bi, z là 1 số thuần ảo.
+ Số 0 vừa là số thuần ảo, vừa là số thực.
+ Hai số phức là bằng nhau nếu chúng có phần ảo bằng nhau, phần thực bằng nhau.
* Các phép toán với số phức:
Số phức có các phép toán +, - , *, / , lũy thừa tương tự như với số thực. Cùng với đó là các tính chất giao hoán, kết hợp....
Với 2 số phức [TEX]z=a+bi, w=c+di[/TEX] ta có:
[TEX]z+w=(a+c)+(b+d)i[/TEX]
[TEX]z-w=(a-c)+(b-d)i[/TEX]
[TEX]z*w=(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bd.i^2=ac-bd+(ad+bc)i[/TEX]
Ở phép chia thì có chút phức tạp hơn 3 phép toán trên, ta cần biến đổi mẫu của phép chia về 1 số thực.
[tex]\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+(bc-ad)i-bd.i^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}[/tex]
* Áp dụng giải phương trình bậc 2: khi giải phương trình bậc 2 với nghiệm phức, ta vẫn tính delta và áp dụng công thức nghiệm như bình thường, chỉ thêm lưu ý là có [TEX]i^2=-1[/TEX]
1. Giải phương trình: [TEX]x^2+2x+5=0[/TEX]
Giải: Ta có: [tex]\Delta '=1-5=-4<0[/tex]
Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:
[tex]x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1+i\sqrt{4}}{1}=-1+2i[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1-i\sqrt{4}}{1}=-1-2i[/tex]
* Chú ý: có thể bỏ qua bước viết công thức nghiệm, tuy nhiên ta phải viết là: [tex]i\sqrt{4}[/tex] , chứ không viết là [tex]\sqrt{-4}[/tex]
2. Giải phương trình: [TEX]ix^2+(i+1)x+3=0[/TEX]
Giải: ta có:[tex]\Delta =(i+1)^2-12i=i^2-10i+1=-10i[/tex]
Vấn đề là tính [tex]\sqrt{\Delta }[/tex] , tức khai căn cho -10i. Ta gọi [TEX]z=a+bi[/TEX] là kết quả cần tìm.
=>[TEX]z^2=-10i<=>(a+bi)^2=-10i[/TEX]
[TEX]<=>a^2-b^2+2abi=-10i[/TEX]
Theo lý thuyết, 2 số phức bằng nhau nếu chúng có cùng phần thực và phần ảo. Vậy:
[tex]\left\{\begin{matrix} a^2-b^2=0\\ 2ab=-10 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải hệ ta tính được [tex]a=\sqrt{5},b=-\sqrt{5}[/tex] hoặc [tex]a=-\sqrt{5},b=\sqrt{5}[/tex]
Vậy ta có các nghiệm của phương trình là:
[tex]x_1=\frac{-(i+1)+(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)i}{-2}[/tex] ( nhân cả tử và mẫu với i)
[tex]x_2=\frac{-(i+1)-(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(-\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}+1)i}{-2}[/tex]
* Trong giải phương trình với nghiệm phức, thì hệ thức Vi-ét vẫn sử dụng cho kết quả đúng như bình thường.
Như ta đã biết, có rất nhiều phương trình vô nghiệm trên tập số thực R. Ví dụ như: [TEX]x^2+1=0[/TEX]. Phương trình này vô nghiệm trên tập số thực.
Để hiện thực hóa ước mơ "phương trình nào cũng có nghiệm", người ta tiến hành mở rộng tập số thực R lên tập số phức C. Cấu tạo của 1 số phức z có dạng: [TEX]z=a+bi[/TEX], với [TEX]a,b[/TEX] là các số thực.
Còn [TEX]i[/TEX] là đơn vị ảo. Và quy ước [TEX]i^2=-1[/TEX]. Nhờ đơn vị ảo này mà mọi phương trình đa thức bậc n đều có nghiệm.
+ a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. Lưu ý phần ảo là b chứ không phải b.i
+ Nếu b=0 thì ta có z=a, z là 1 số thực như đã học.
+ Nếu a=0 thì ta có z=bi, z là 1 số thuần ảo.
+ Số 0 vừa là số thuần ảo, vừa là số thực.
+ Hai số phức là bằng nhau nếu chúng có phần ảo bằng nhau, phần thực bằng nhau.
* Các phép toán với số phức:
Số phức có các phép toán +, - , *, / , lũy thừa tương tự như với số thực. Cùng với đó là các tính chất giao hoán, kết hợp....
Với 2 số phức [TEX]z=a+bi, w=c+di[/TEX] ta có:
[TEX]z+w=(a+c)+(b+d)i[/TEX]
[TEX]z-w=(a-c)+(b-d)i[/TEX]
[TEX]z*w=(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bd.i^2=ac-bd+(ad+bc)i[/TEX]
Ở phép chia thì có chút phức tạp hơn 3 phép toán trên, ta cần biến đổi mẫu của phép chia về 1 số thực.
[tex]\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+(bc-ad)i-bd.i^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}[/tex]
* Áp dụng giải phương trình bậc 2: khi giải phương trình bậc 2 với nghiệm phức, ta vẫn tính delta và áp dụng công thức nghiệm như bình thường, chỉ thêm lưu ý là có [TEX]i^2=-1[/TEX]
1. Giải phương trình: [TEX]x^2+2x+5=0[/TEX]
Giải: Ta có: [tex]\Delta '=1-5=-4<0[/tex]
Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:
[tex]x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1+i\sqrt{4}}{1}=-1+2i[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1-i\sqrt{4}}{1}=-1-2i[/tex]
* Chú ý: có thể bỏ qua bước viết công thức nghiệm, tuy nhiên ta phải viết là: [tex]i\sqrt{4}[/tex] , chứ không viết là [tex]\sqrt{-4}[/tex]
2. Giải phương trình: [TEX]ix^2+(i+1)x+3=0[/TEX]
Giải: ta có:[tex]\Delta =(i+1)^2-12i=i^2-10i+1=-10i[/tex]
Vấn đề là tính [tex]\sqrt{\Delta }[/tex] , tức khai căn cho -10i. Ta gọi [TEX]z=a+bi[/TEX] là kết quả cần tìm.
=>[TEX]z^2=-10i<=>(a+bi)^2=-10i[/TEX]
[TEX]<=>a^2-b^2+2abi=-10i[/TEX]
Theo lý thuyết, 2 số phức bằng nhau nếu chúng có cùng phần thực và phần ảo. Vậy:
[tex]\left\{\begin{matrix} a^2-b^2=0\\ 2ab=-10 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải hệ ta tính được [tex]a=\sqrt{5},b=-\sqrt{5}[/tex] hoặc [tex]a=-\sqrt{5},b=\sqrt{5}[/tex]
Vậy ta có các nghiệm của phương trình là:
[tex]x_1=\frac{-(i+1)+(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)i}{-2}[/tex] ( nhân cả tử và mẫu với i)
[tex]x_2=\frac{-(i+1)-(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(-\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}+1)i}{-2}[/tex]
* Trong giải phương trình với nghiệm phức, thì hệ thức Vi-ét vẫn sử dụng cho kết quả đúng như bình thường.