Toán 12 Số phức, giải phương trình bậc 2 nghiệm phức

Thảo luận trong 'Số phức' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 25 Tháng hai 2020.

Lượt xem: 63

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,746
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    * Số phức là gì?
    Như ta đã biết, có rất nhiều phương trình vô nghiệm trên tập số thực R. Ví dụ như: [TEX]x^2+1=0[/TEX]. Phương trình này vô nghiệm trên tập số thực.

    Để hiện thực hóa ước mơ "phương trình nào cũng có nghiệm", người ta tiến hành mở rộng tập số thực R lên tập số phức C. Cấu tạo của 1 số phức z có dạng: [TEX]z=a+bi[/TEX], với [TEX]a,b[/TEX] là các số thực.
    Còn [TEX]i[/TEX] là đơn vị ảo. Và quy ước [TEX]i^2=-1[/TEX]. Nhờ đơn vị ảo này mà mọi phương trình đa thức bậc n đều có nghiệm.

    + a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. Lưu ý phần ảo là b chứ không phải b.i
    + Nếu b=0 thì ta có z=a, z là 1 số thực như đã học.
    + Nếu a=0 thì ta có z=bi, z là 1 số thuần ảo.
    + Số 0 vừa là số thuần ảo, vừa là số thực.
    + Hai số phức là bằng nhau nếu chúng có phần ảo bằng nhau, phần thực bằng nhau.
    * Các phép toán với số phức:
    Số phức có các phép toán +, - , *, / , lũy thừa tương tự như với số thực. Cùng với đó là các tính chất giao hoán, kết hợp....

    Với 2 số phức [TEX]z=a+bi, w=c+di[/TEX] ta có:
    [TEX]z+w=(a+c)+(b+d)i[/TEX]
    [TEX]z-w=(a-c)+(b-d)i[/TEX]
    [TEX]z*w=(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bd.i^2=ac-bd+(ad+bc)i[/TEX]

    Ở phép chia thì có chút phức tạp hơn 3 phép toán trên, ta cần biến đổi mẫu của phép chia về 1 số thực.

    [tex]\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+(bc-ad)i-bd.i^2}{c^2-d^2i^2}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}[/tex]

    * Áp dụng giải phương trình bậc 2: khi giải phương trình bậc 2 với nghiệm phức, ta vẫn tính delta và áp dụng công thức nghiệm như bình thường, chỉ thêm lưu ý là có [TEX]i^2=-1[/TEX]

    1. Giải phương trình: [TEX]x^2+2x+5=0[/TEX]

    Giải:
    Ta có: [tex]\Delta '=1-5=-4<0[/tex]

    Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:
    [tex]x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1+i\sqrt{4}}{1}=-1+2i[/tex]

    [tex]x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{-1-i\sqrt{4}}{1}=-1-2i[/tex]

    * Chú ý: có thể bỏ qua bước viết công thức nghiệm, tuy nhiên ta phải viết là: [tex]i\sqrt{4}[/tex] , chứ không viết là [tex]\sqrt{-4}[/tex]

    2. Giải phương trình: [TEX]ix^2+(i+1)x+3=0[/TEX]

    Giải: ta có:[tex]\Delta =(i+1)^2-12i=i^2-10i+1=-10i[/tex]

    Vấn đề là tính [tex]\sqrt{\Delta }[/tex] , tức khai căn cho -10i. Ta gọi [TEX]z=a+bi[/TEX] là kết quả cần tìm.

    =>[TEX]z^2=-10i<=>(a+bi)^2=-10i[/TEX]
    [TEX]<=>a^2-b^2+2abi=-10i[/TEX]

    Theo lý thuyết, 2 số phức bằng nhau nếu chúng có cùng phần thực và phần ảo. Vậy:
    [tex]\left\{\begin{matrix} a^2-b^2=0\\ 2ab=-10 \end{matrix}\right.[/tex]

    Giải hệ ta tính được [tex]a=\sqrt{5},b=-\sqrt{5}[/tex] hoặc [tex]a=-\sqrt{5},b=\sqrt{5}[/tex]

    Vậy ta có các nghiệm của phương trình là:
    [tex]x_1=\frac{-(i+1)+(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(\sqrt{5}+1)+(\sqrt{5}-1)i}{-2}[/tex] ( nhân cả tử và mẫu với i)

    [tex]x_2=\frac{-(i+1)-(\sqrt{5}-\sqrt{5}i)}{2i}=\frac{(-\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}+1)i}{-2}[/tex]

    * Trong giải phương trình với nghiệm phức, thì hệ thức Vi-ét vẫn sử dụng cho kết quả đúng như bình thường.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->