Toán 9 Số nguyên tố

ankhongu

Học sinh tiến bộ
Thành viên
17 Tháng tám 2018
1,063
719
151
16
Hà Nội
Dong Da secondary school
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho [tex]\frac{a^2(b - a)}{b + a}[/tex] là bình phương của một số nguyên tố

Bài này mình đang chưa rõ phải làm theo hướng nào. Hiện mình đang nghĩ là cự đặt bằng p^2 rồi giải ra xem được gì không, mà kết quả là đến giờ mình vẫn chưa ra được gì :(
 

7 1 2 5

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,651
11,119
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Ta thấy:[TEX]b-a<b+a[/TEX] nên b-a không chia hết cho b+a
[tex]\Rightarrow a^2\vdots a+b[/tex]
Đặt [tex]a^2=k(a+b)(k\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow kb=a^2-ak\vdots a[/tex]
Xét các trường hợp:
[tex]k\vdots a[/tex] Đặt [tex]k=qa\Rightarrow a^2=qa(a+b)=qa^2+aqb>a^2(vô lí)[/tex]
[tex]b\vdots a[/tex] Đặt [tex]b=pa(p\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow a^2=a+pa\Rightarrow a=p+1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2(b-a)}{a+b}=k^2(p-1)(p+1)[/tex]
+ Nếu k > 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)[/tex] có hơn 4 ước(loại vì bình phương 1 số chính phương có 3 ước)
+ Nếu k = 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)=p^2-1=n^2\Rightarrow p=1(loại)[/tex]
Vậy không tồn tại a,b thỏa mãn...
 

ankhongu

Học sinh tiến bộ
Thành viên
17 Tháng tám 2018
1,063
719
151
16
Hà Nội
Dong Da secondary school
Ta thấy:[TEX]b-a<b+a[/TEX] nên b-a không chia hết cho b+a
[tex]\Rightarrow a^2\vdots a+b[/tex]
Đặt [tex]a^2=k(a+b)(k\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow kb=a^2-ak\vdots a[/tex]
Xét các trường hợp:
[tex]k\vdots a[/tex] Đặt [tex]k=qa\Rightarrow a^2=qa(a+b)=qa^2+aqb>a^2(vô lí)[/tex]
[tex]b\vdots a[/tex] Đặt [tex]b=pa(p\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow a^2=a+pa\Rightarrow a=p+1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2(b-a)}{a+b}=k^2(p-1)(p+1)[/tex]
+ Nếu k > 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)[/tex] có hơn 4 ước(loại vì bình phương 1 số chính phương có 3 ước)
+ Nếu k = 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)=p^2-1=n^2\Rightarrow p=1(loại)[/tex]
Vậy không tồn tại a,b thỏa mãn...
Cho mình hỏi, nếu chỉ mới biết [tex]kb \vdots a[/tex] thôi thì sao mà suy ra được hoặc [tex]k \vdots a[/tex], hoặc [tex]b \vdots a[/tex] ?

Ta thấy:[TEX]b-a<b+a[/TEX] nên b-a không chia hết cho b+a
[tex]\Rightarrow a^2\vdots a+b[/tex]
Đặt [tex]a^2=k(a+b)(k\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow kb=a^2-ak\vdots a[/tex]
Xét các trường hợp:
[tex]k\vdots a[/tex] Đặt [tex]k=qa\Rightarrow a^2=qa(a+b)=qa^2+aqb>a^2(vô lí)[/tex]
[tex]b\vdots a[/tex] Đặt [tex]b=pa(p\in \mathbb{N}^*)\Rightarrow a^2=a+pa\Rightarrow a=p+1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2(b-a)}{a+b}=k^2(p-1)(p+1)[/tex]
+ Nếu k > 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)[/tex] có hơn 4 ước(loại vì bình phương 1 số chính phương có 3 ước)
+ Nếu k = 1 thì [tex]k^2(p-1)(p+1)=p^2-1=n^2\Rightarrow p=1(loại)[/tex]
Vậy không tồn tại a,b thỏa mãn...
Với cả TH b chia hết cho a tại sao k cậu lại bỏ đi thế ?
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom