Toán 9 Số nguyên tố - Tìm max

[Hàn Thiên_Băng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10a+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh: 5a+1 chia hết cho 6
2. Cho x,y>0 và xy=1. Tìm max: [tex]P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

1. Chịu :v
2.
ÁP dụng BĐT Cauchy
[tex]x^4+y^2\geq 2x^2y \rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}[/tex]
[tex]y^4+x^2\geq 2y^2x \rightarrow \frac{y}{y^4+x^2}\leq \frac{y}{2y^2x}[/tex]
Suy ra
[tex]P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{x}{2x.xy}+\frac{y}{2y.xy}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=1

 

[0948207255]

1. Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10a+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh: 5a+1 chia hết cho 6
2. Cho x,y>0 và xy=1. Tìm max: [tex]P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}[/tex]

1.
Xét mod 6

 

[Tiểu Linh Hàn]

1. Chịu :v
2.
ÁP dụng BĐT Cauchy
[tex]x^4+y^2\geq 2x^2y \rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}[/tex]
[tex]y^4+x^2\geq 2y^2x \rightarrow \frac{y}{y^4+x^2}\leq \frac{y}{2y^2x}[/tex]
Suy ra
[tex]P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{x}{2x.xy}+\frac{y}{2y.xy}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=1

Sao ko tag mình vô Câu 1 mình có ý tưởng nè
Do a là số nguyên tố nên a có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N* để thỏa mãn a > 3 nha )
Nếu a có dạng 3k + 2 thì 10a + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 20 + 1 = 30k + 21 = 3(10k+7) chia hết cho 3 (vì k thuộc N*)
Mà 10a + 1 > 3 (vì a > 3) nên 10a+1 là hợp số, mâu thuẫn với đề bài
Như vậy a phải có dạng 3k + 1. Khi đó 5a + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 5 + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)
Ta sẽ CM k không thể là số lẻ. Thật vậy nếu k là số lẻ thì 3k lẻ mà 1 cũng lẻ nên 3k + 1 sẽ chẵn hay a chẵn
Mà a > 2 (vì a > 3 theo gt) nên a là hợp số, mâu thuẫn với đề bài. Như vậy k phải là số chẵn
=> 5k chẵn mà 2 chẵn nên 5k + 2 chia hết cho 2
=> 3(5k + 2) chia hết cho 3.2 = 6
Hay 5a + 1 chia hết cho 6 (đpcm)

 

[Hàn Thiên_Băng]

Sao ko tag mình vô Câu 1 mình có ý tưởng nè
Do a là số nguyên tố nên a có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N* để thỏa mãn a > 3 nha )
Nếu a có dạng 3k + 2 thì 10a + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 20 + 1 = 30k + 21 = 3(10k+7) chia hết cho 3 (vì k thuộc N*)
Mà 10a + 1 > 3 (vì a > 3) nên 10a+1 là hợp số, mâu thuẫn với đề bài
Như vậy a phải có dạng 3k + 1. Khi đó 5a + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 5 + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)
Ta sẽ CM k không thể là số lẻ. Thật vậy nếu k là số lẻ thì 3k lẻ mà 1 cũng lẻ nên 3k + 1 sẽ chẵn hay a chẵn
Mà a > 2 (vì a > 3 theo gt) nên a là hợp số, mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy k phải là số chẵn
=> 5k chẵn mà 2 chẵn nên 5k + 2 chia hết cho 2
=> 3(5k + 2) chia hết cho 3.2 = 6
Hay 5a + 1 chia hết cho 6 (đpcm)

lần sau sẽ tag :v

 

[Tiểu Linh Hàn]

lần sau sẽ tag :v

À không mình bảo cái bạn cmt lời giải bài 2 tag vào thôi

 

[Hàn Thiên_Băng]

1. Chịu :v
2.
ÁP dụng BĐT Cauchy
[tex]x^4+y^2\geq 2x^2y \rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}[/tex]
[tex]y^4+x^2\geq 2y^2x \rightarrow \frac{y}{y^4+x^2}\leq \frac{y}{2y^2x}[/tex]
Suy ra
[tex]P=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{x}{2x.xy}+\frac{y}{2y.xy}=\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1[/tex]
Dấu = xảy ra khi x=y=1

mình thấy hình như bạn rất thạo cosi

 

[0948207255]

Sao ko tag mình vô Câu 1 mình có ý tưởng nè
Do a là số nguyên tố nên a có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N* để thỏa mãn a > 3 nha )
Nếu a có dạng 3k + 2 thì 10a + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 20 + 1 = 30k + 21 = 3(10k+7) chia hết cho 3 (vì k thuộc N*)
Mà 10a + 1 > 3 (vì a > 3) nên 10a+1 là hợp số, mâu thuẫn với đề bài
Như vậy a phải có dạng 3k + 1. Khi đó 5a + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 5 + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)
Ta sẽ CM k không thể là số lẻ. Thật vậy nếu k là số lẻ thì 3k lẻ mà 1 cũng lẻ nên 3k + 1 sẽ chẵn hay a chẵn
Mà a > 2 (vì a > 3 theo gt) nên a là hợp số, mâu thuẫn với đề bài. Như vậy k phải là số chẵn
=> 5k chẵn mà 2 chẵn nên 5k + 2 chia hết cho 2
=> 3(5k + 2) chia hết cho 3.2 = 6
Hay 5a + 1 chia hết cho 6 (đpcm)

Chứng minh như cậu thì thà mình xét mod 6 cho lành, đỡ phải chứng minh nhiều

 

[Tiểu Linh Hàn]

Chứng minh như cậu thì thà mình xét mod 6 cho lành, đỡ phải chứng minh nhiều

Um
Nếu xét mod 6 thì a chỉ có thể đồng dư với 1 hoặc 5 thôi (vì nếu đồng dư với 0, 2, 3, 4 thì sẽ có ước khác 1 và chính nó, không thỏa mãn a là số nguyên tố)
Mà nếu a đồng dư với 5 thì 10a + 1 chia hết cho 6 hay chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên sẽ là hợp số, mâu thuẫn đề bài
Nên a đồng dư với 1 mod 6, khi đó khác có 5a + 1 đồng dư với 0 mod 6

 

[0948207255]

Um
Nếu xét mod 6 thì a chỉ có thể đồng dư với 1 hoặc 5 thôi (vì nếu đồng dư với 0, 2, 3, 4 thì sẽ có ước khác 1 và chính nó, không thỏa mãn a là số nguyên tố)
Mà nếu a đồng dư với 5 thì 10a + 1 chia hết cho 6 hay chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên sẽ là hợp số, mâu thuẫn đề bài
Nên a đồng dư với 1 mod 6, khi đó khác có 5a + 1 đồng dư với 0 mod 6

Đúng ý mình
Nhưng 10a+1 chia hết cho 3 là đủ rồi, chia hết cho 6 lại phải chứng minh như cậu thì còn mệt hơn