Toán 10 Số nguyên tố - Hợp số

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: a) Cho a>1 và a thuộc N*, n thuộc N* và n không là lũy thừa của 2. CMR: a^n + 1 là hợp số
b) Cho n>2. CMR: có ít nhất 1 trong hai số n^n + 1 và (2n)^2n + 1

 

[2712-0-3]

Bài 1: a) Cho a>1 và a thuộc N*, n thuộc N* và n không là lũy thừa của 2. CMR: a^n + 1 là hợp số
b) Cho n>2. CMR: có ít nhất 1 trong hai số n^n + 1 và (2n)^2n + 1

oanh6807a) Vì [imath]n[/imath] không là lũy thừa của 2 nên [imath]n=2^k.s[/imath] với s lẻ, suy ra [imath]a^n+1 = (a^{2^k})^s+1\vdots a^{2^k}+1[/imath]
Mà [imath]a^n+1> a^{2^k}+1[/imath]
Suy ra [imath]a^n+1[/imath] là hợp số.

b) Phản chứng ...
TH1: Nếu [imath]n[/imath] không phải lũy thừa của 2, theo bổ đề câu a sẽ suy ra được điều phải chứng minh.
TH2: [imath]n=2^k (k\geq 2)[/imath]
Khi này: [imath]n^n+1=(2^k)^{2^k} +1 = 2^{k.2^k}+1=(2^{2^k})^k+1[/imath] là số nguyên tố, suy ra [imath]k[/imath] chẵn (lập luận như trên)
Tương tự với [imath](2n)^{2n}+1[/imath] là số nguyên tố suy ra [imath]k+1[/imath] chẵn, vô lý.
Vậy có 1 trong 2 số là hợp số.

Ngoài ra mời bạn tham khảo:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học