Toán 9 số ngto

[lynox]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm tất cả các số ngto [imath]p , q[/imath] sao cho tồn tại STN m thỏa mãn [imath]\frac{pq}{p+q} = \frac{m^{2}+1}{m+1}[/imath]

 

[cuduckien]

đặt d=(pq,p+q)
=>pq/d;p+q/d
=> p hoặc q /d ;p+q/d =?p/d;q/d =>d=(p,q)
xét các TH sau:
TH1: nếu p=q=>p=2pq/(p+q) =>2(m^2+1) chia hết cho m+1=>4/m+1 =>m=0,1,3
m=0;1=>p=q=2 ; m=3=>p=q=5 (tm)
TH2 p khác q => (p,q)=1 =>(pq,p+q)=1 và (m^2+1,m+1)=1 hoặc 2
nếu (m^2+1,m+1)=1 => p+q=m+1 và pq=m^2+1
áp dụng bđt am-gm có (p+q)^2>4pq (vì p khác q)=>(m+1)^2>4m^2+4 =>vô lí
nếu (m^2+1,m+1)=2 =>2p+2q=m+1 và 2pq=m^2+1
=>p;q là no của pt 2x^2-(m+1)x+m^2+1=0
delta=-7x^2+2x-7 <0 =>pt vô no
vậy (p,q,m)=(2,2,0);(2,2,1);(5,5,3)
bạn tham khảo nhé (dấu '/' bạn tạm hiểu là chia hết cho nhé)