Toán 9 số học

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $p$ là $1$ số nguyên tố lẻ.Có bao nhiêu số nguyên dương $n \in [1;2022p]$ thỏa mãn:$A(n) = n^{p+1} - n^2 + 2n + 2022$ chia hết cho $p$
Anh/chị giúp e với ạ.Toán số học khó quá

 

[7 1 2 5]

Theo định lý nhỏ Fermat thì $n^p \equiv 1 (\mod p) \Rightarrow n^{p+1} \equiv n^2(\mod p)$
$\Rightarrow A(n) \equiv 2n+2022 (\mod p)$
Từ đó $p \mid A(n) \Leftrightarrow p \mid n+1011 \Leftrightarrow n=kp-1011$
Nhận thấy $kp-1011 >0 \Rightarrow k \geq \lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor +1$
$kp-1011 \leq 2022p \Rightarrow k \leq 2022+\lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor$
Từ đó ta thấy có $2022$ số $n$ thỏa mãn đề bài.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[Thảo_UwU]

Theo định lý nhỏ Fermat thì $n^p \equiv 1 (\mod p) \Rightarrow n^{p+1} \equiv n^2(\mod p)$
$\Rightarrow A(n) \equiv 2n+2022 (\mod p)$
Từ đó $p \mid A(n) \Leftrightarrow p \mid n+1011 \Leftrightarrow n=kp-1011$
Nhận thấy $kp-1011 >0 \Rightarrow k \geq \lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor +1$
$kp-1011 \leq 2022p \Rightarrow k \leq 2022+\lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor$
Từ đó ta thấy có $2022$ số $n$ thỏa mãn đề bài.

7 1 2 5Anh ơi cho e hỏi với ạ:$\lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor$ có phải là phần nguyên của phân số này đúng ko ạ?
$p | A(n)$ có nghĩa là $p$ là ước của $A(n)$ đúng ko ạ?

 

[7 1 2 5]

Anh ơi cho e hỏi với ạ:$\lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor$ có phải là phần nguyên của phân số này đúng ko ạ?
$p | A(n)$ có nghĩa là $p$ là ước của $A(n)$ đúng ko ạ?

Thảo_UwUỪm đúng rồi nhé em.

 

[Thảo_UwU]

Theo định lý nhỏ Fermat thì $n^p \equiv 1 (\mod p) \Rightarrow n^{p+1} \equiv n^2(\mod p)$
$\Rightarrow A(n) \equiv 2n+2022 (\mod p)$
Từ đó $p \mid A(n) \Leftrightarrow p \mid n+1011 \Leftrightarrow n=kp-1011$
Nhận thấy $kp-1011 >0 \Rightarrow k \geq \lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor +1$
$kp-1011 \leq 2022p \Rightarrow k \leq 2022+\lfloor \dfrac{1011}{p} \rfloor$
Từ đó ta thấy có $2022$ số $n$ thỏa mãn đề bài.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

7 1 2 5Chỗ này phải là $n^p \equiv n (\text{mod p})$ chứ a?

 

[7 1 2 5]

Chỗ này phải là $n^p \equiv n (\text{mod p})$ chứ a?

Thảo_UwUAnh nhầm lẫn xíu nhé :vv