Toán 9 Số học

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh nếu $(a,b)=1$ thì $$(a^2+ab+b^2,a)=(b^2,a)=(a^2+ab+b^2,a)=(b,a^2)=(a^2+ab+b^2,a^2+b^2)=1$$

 

[2712-0-3]

Chứng minh nếu $(a,b)=1$ thì $$(a^2+ab+b^2,a)=(b^2,a)=(a^2+ab+b^2,a)=(b,a^2)=(a^2+ab+b^2,a^2+b^2)=1$$

Nguyễn Phúc Lương+ Ta dùng tính chất $(a,b) = (a,b+ak)$
Đặt $(a,b) =x ; (a,b+ak) =y (x,y \in \mathbb{N})$
Ta có: $y \vdots x ; x \vdots y \Rightarrow x=y$
Tính chất này suy ra được: $(a^2+ab+b^2,a) = (b^2,a)$ và $(a^2,b) = (a^2+ba+b^2 ,b)$
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu $(a,b) = (a,c)=1 \Rightarrow (a,bc)=1$
Thật vậy, giả sử $a,bc$ có ước chung nguyên tố là $p \Rightarrow b$ hoặc $c$ chia hết cho $p$
Khi đó $(a,b) \geq p$ hoặc $(a,c) \geq p$ (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có: $(a,b)=(a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)= (a^2,b)=1$
$\Rightarrow (a,b^2+a^2) = (b,a^2+b^2)=1$ (do tính chất 1)
$\Rightarrow (ab,a^2+b^2) = 1$ (do tính chất 2)
$\Rightarrow (ab+a^2+b^2,a^2+b^2)=1$ (do tính chất 1)

Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[_Error404_]

+ Ta dùng tính chất $(a,b) = (a,b+ak)$
Đặt $(a,b) =x ; (a,b+ak) =y (x,y \in \mathbb{N})$
Ta có: $y \vdots x ; x \vdots y \Rightarrow x=y$
Tính chất này suy ra được: $(a^2+ab+b^2,a) = (b^2,a)$ và $(a^2,b) = (a^2+ba+b^2 ,b)$
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu $(a,b) = (a,c)=1 \Rightarrow (a,bc)=1$
Thật vậy, giả sử $a,bc$ có ước chung nguyên tố là $p \Rightarrow b$ hoặc $c$ chia hết cho $p$
Khi đó $(a,b) \geq p$ hoặc $(a,c) \geq p$ (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có: $(a,b)=(a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)= (a^2,b)=1$
$\Rightarrow (a,b^2+a^2) = (b,a^2+b^2)=1$ (do tính chất 1)
$\Rightarrow (ab,a^2+b^2) = 1$ (do tính chất 2)
$\Rightarrow (ab+a^2+b^2,a^2+b^2)=1$ (do tính chất 1)

Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

HT2k02(Re-kido)Cho e hỏi là vì sao đoạn đầu ta lại có x chia hết y và y chia hết x ạ

 

[kido2006]

Cho e hỏi là vì sao đoạn đầu ta lại có x chia hết y và y chia hết x ạ

Nguyễn Phúc LươngChắc là bạn đấy ghi nhầm thôi :vv, bạn tham khảo cách sau nhé
$(a,b)=x \Rightarrow b+ak \vdots x\Rightarrow y\geq x$
$b=b+ak-ak\vdots y\Rightarrow x\geq y\Rightarrow x=y$

 

[2712-0-3]

Chắc là bạn đấy ghi nhầm thôi :vv, bạn tham khảo cách sau nhé
$(a,b)=x \Rightarrow b+ak \vdots x\Rightarrow y\geq x$
$b=b+ak-ak\vdots y\Rightarrow x\geq y\Rightarrow x=y$

kido2006Bạn ghi đúng rồi nhé Cường.
Vì $a ,b \vdots x \Rightarrow a, b +ak \vdots x \Rightarrow y \vdots x$
Và ngược lại $y\vdots x$
Suy ra 2 cái bằng nhau nhé