Toán 9 Số học

_Error404_

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng hai 2020
333
312
76
17
Hà Tĩnh
THCS Lê Văn Thiêm
  • Like
Reactions: 2712-0-3

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
Chứng minh nếu (a,b)=1(a,b)=1 thì (a2+ab+b2,a)=(b2,a)=(a2+ab+b2,a)=(b,a2)=(a2+ab+b2,a2+b2)=1(a^2+ab+b^2,a)=(b^2,a)=(a^2+ab+b^2,a)=(b,a^2)=(a^2+ab+b^2,a^2+b^2)=1
Nguyễn Phúc Lương+ Ta dùng tính chất (a,b)=(a,b+ak)(a,b) = (a,b+ak)
Đặt (a,b)=x;(a,b+ak)=y(x,yN)(a,b) =x ; (a,b+ak) =y (x,y \in \mathbb{N})
Ta có: yx;xyx=yy \vdots x ; x \vdots y \Rightarrow x=y
Tính chất này suy ra được: (a2+ab+b2,a)=(b2,a)(a^2+ab+b^2,a) = (b^2,a)(a2,b)=(a2+ba+b2,b)(a^2,b) = (a^2+ba+b^2 ,b)
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu (a,b)=(a,c)=1(a,bc)=1(a,b) = (a,c)=1 \Rightarrow (a,bc)=1
Thật vậy, giả sử a,bca,bc có ước chung nguyên tố là pbp \Rightarrow b hoặc cc chia hết cho pp
Khi đó (a,b)p(a,b) \geq p hoặc (a,c)p(a,c) \geq p (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có: (a,b)=(a,b)=1(a,b2)=(a2,b)=1(a,b)=(a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)= (a^2,b)=1
(a,b2+a2)=(b,a2+b2)=1\Rightarrow (a,b^2+a^2) = (b,a^2+b^2)=1 (do tính chất 1)
(ab,a2+b2)=1\Rightarrow (ab,a^2+b^2) = 1 (do tính chất 2)
(ab+a2+b2,a2+b2)=1\Rightarrow (ab+a^2+b^2,a^2+b^2)=1 (do tính chất 1)

Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
 

_Error404_

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng hai 2020
333
312
76
17
Hà Tĩnh
THCS Lê Văn Thiêm
+ Ta dùng tính chất (a,b)=(a,b+ak)(a,b) = (a,b+ak)
Đặt (a,b)=x;(a,b+ak)=y(x,yN)(a,b) =x ; (a,b+ak) =y (x,y \in \mathbb{N})
Ta có: yx;xyx=yy \vdots x ; x \vdots y \Rightarrow x=y
Tính chất này suy ra được: (a2+ab+b2,a)=(b2,a)(a^2+ab+b^2,a) = (b^2,a)(a2,b)=(a2+ba+b2,b)(a^2,b) = (a^2+ba+b^2 ,b)
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu (a,b)=(a,c)=1(a,bc)=1(a,b) = (a,c)=1 \Rightarrow (a,bc)=1
Thật vậy, giả sử a,bca,bc có ước chung nguyên tố là pbp \Rightarrow b hoặc cc chia hết cho pp
Khi đó (a,b)p(a,b) \geq p hoặc (a,c)p(a,c) \geq p (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có: (a,b)=(a,b)=1(a,b2)=(a2,b)=1(a,b)=(a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)= (a^2,b)=1
(a,b2+a2)=(b,a2+b2)=1\Rightarrow (a,b^2+a^2) = (b,a^2+b^2)=1 (do tính chất 1)
(ab,a2+b2)=1\Rightarrow (ab,a^2+b^2) = 1 (do tính chất 2)
(ab+a2+b2,a2+b2)=1\Rightarrow (ab+a^2+b^2,a^2+b^2)=1 (do tính chất 1)

Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
HT2k02(Re-kido)Cho e hỏi là vì sao đoạn đầu ta lại có x chia hết y và y chia hết x ạ :)
 

kido2006

Cựu TMod Toán
Thành viên
26 Tháng một 2018
1,693
2
2,653
401
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
Cho e hỏi là vì sao đoạn đầu ta lại có x chia hết y và y chia hết x ạ :)
Nguyễn Phúc LươngChắc là bạn đấy ghi nhầm thôi :vv, bạn tham khảo cách sau nhé
(a,b)=xb+akxyx(a,b)=x \Rightarrow b+ak \vdots x\Rightarrow y\geq x
b=b+akakyxyx=yb=b+ak-ak\vdots y\Rightarrow x\geq y\Rightarrow x=y
 
  • Like
Reactions: _Error404_

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
kido2006Bạn ghi đúng rồi nhé Cường.
a,bxa,b+akxyxa ,b \vdots x \Rightarrow a, b +ak \vdots x \Rightarrow y \vdots x
Và ngược lại yxy\vdots x
Suy ra 2 cái bằng nhau nhé
 
  • Haha
Reactions: kido2006
Top Bottom