+ Ta dùng tính chất
(a,b)=(a,b+ak)
Đặt
(a,b)=x;(a,b+ak)=y(x,y∈N)
Ta có:
y⋮x;x⋮y⇒x=y
Tính chất này suy ra được:
(a2+ab+b2,a)=(b2,a) và
(a2,b)=(a2+ba+b2,b)
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu
(a,b)=(a,c)=1⇒(a,bc)=1
Thật vậy, giả sử
a,bc có ước chung nguyên tố là
p⇒b hoặc
c chia hết cho
p
Khi đó
(a,b)≥p hoặc
(a,c)≥p (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có:
(a,b)=(a,b)=1⇒(a,b2)=(a2,b)=1
⇒(a,b2+a2)=(b,a2+b2)=1 (do tính chất 1)
⇒(ab,a2+b2)=1 (do tính chất 2)
⇒(ab+a2+b2,a2+b2)=1 (do tính chất 1)
Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học