+ Ta dùng tính chất [imath](a,b) = (a,b+ak)[/imath]
Đặt [imath](a,b) =x ; (a,b+ak) =y (x,y \in \mathbb{N})[/imath]
Ta có: [imath]y \vdots x ; x \vdots y \Rightarrow x=y[/imath]
Tính chất này suy ra được: [imath](a^2+ab+b^2,a) = (b^2,a)[/imath] và [imath](a^2,b) = (a^2+ba+b^2 ,b)[/imath]
+ Tính chất 2 (tự chế): Nếu [imath](a,b) = (a,c)=1 \Rightarrow (a,bc)=1[/imath]
Thật vậy, giả sử [imath]a,bc[/imath] có ước chung nguyên tố là [imath]p \Rightarrow b[/imath] hoặc [imath]c[/imath] chia hết cho [imath]p[/imath]
Khi đó [imath](a,b) \geq p[/imath] hoặc [imath](a,c) \geq p[/imath] (vô lý)
Vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng ta có: [imath](a,b)=(a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)= (a^2,b)=1[/imath]
[imath]\Rightarrow (a,b^2+a^2) = (b,a^2+b^2)=1[/imath] (do tính chất 1)
[imath]\Rightarrow (ab,a^2+b^2) = 1[/imath] (do tính chất 2)
[imath]\Rightarrow (ab+a^2+b^2,a^2+b^2)=1[/imath] (do tính chất 1)
Bài toán được chứng minh, mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
