Toán 9 Số học

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b TM :
a) a,b nguyên , a^2+b^2 chia hết cho 3^2019 ; CMR ab chia hết cho 3^2020
b) a,b nguyên dương , n nguyên dương lẻ , a^n + b^n là lũy thừa của 3 . CMR n cũng là lũy thừa của 3
c) a,b nguyên TM 2a + 3b ; 3a - 2b là SCP ; CMR a,b chia hết cho 13
d) a^5 - 2a = b^5 - 2b ; CMR a = b

 

[2712-0-3]

Cho a,b TM :
a) a,b nguyên , a^2+b^2 chia hết cho 3^2019 ; CMR ab chia hết cho 3^2020
b) a,b nguyên dương , n nguyên dương lẻ , a^n + b^n là lũy thừa của 3 . CMR n cũng là lũy thừa của 3
c) a,b nguyên TM 2a + 3b ; 3a - 2b là SCP ; CMR a,b chia hết cho 13
d) a^5 - 2a = b^5 - 2b ; CMR a = b

CheemsBạn tách ra thành vài các câu nhỏ để đăng , sẽ nhận được sự giúp đỡ nhanh hơn nhé !!
Mình giải ý a) trước nhé
------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử a không chia hết cho 3, khi đó [imath]a^2[/imath] chia 3 dư 1. Mà [imath]a^2+b^2[/imath] chia hết cho 3
Nên [imath]b^2[/imath] không chia hết cho 3, suy ra [imath]b^2[/imath] chia 3 dư 1.
Vì thế [imath]a^2+b^2[/imath] chia 3 dư 2 (vô lý)
Vậy giả sử sai, nên a chia hết cho 3, suy ra b cũng chia hết cho 3.
Từ đó bạn đặt [imath]a=3a_1; b=3b_1[/imath] thay vào điều kiện có được [imath]a_1^2 + b_1^2[/imath] chia hết cho [imath]3^{2017}[/imath]
Áp dụng tương tự như thế, ta sẽ chứng minh được [imath]a,b[/imath] chia hết cho [imath]3^{1010}[/imath] nên [imath]ab[/imath] chia hết cho [imath]3^{2020}[/imath]

Bạn còn điều gì thắc mắc có thể comment dưới bài viết này để được giải đáp nhé.
Ngoài ra , hãy cùng tham khảo các box toán khác của diễn đàn để học tập thêm nhiều kiến thức nhé!!

Toán - [Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS

Chào các thần dân của diễn đàn HMF nhé :D Một năm học mới lại đến, bạn đang mong chờ điều gì? Nếu mục tiêu của bạn cho năm học mới là giật giải HSG cấp trường hay cấp tỉnh thì bạn đã đến đúng chỗ rồi đấy :D Để phục vụ cho việc ôn thi HSG THCS năm học 2021 - 2022, BQT box Toán hôm nay lập...

diendan.hocmai.vn

 

[2712-0-3]

Cho a,b TM :
a) a,b nguyên , a^2+b^2 chia hết cho 3^2019 ; CMR ab chia hết cho 3^2020
b) a,b nguyên dương , n nguyên dương lẻ , a^n + b^n là lũy thừa của 3 . CMR n cũng là lũy thừa của 3
c) a,b nguyên TM 2a + 3b ; 3a - 2b là SCP ; CMR a,b chia hết cho 13
d) a^5 - 2a = b^5 - 2b ; CMR a = b

CheemsTiếp câu d) nhỉ.
Giả sử [imath]a \ne b[/imath]
[imath]a^5-2a= b^5 - 2b[/imath]
[imath]a^5-b^5= 2a-2b \Rightarrow \dfrac{a^5-b^5}{a-b}=2[/imath]
Đến chỗ này có nhiều cách xử lý, nhưng mà mình lựa chọn một cách lập luận tự nhiên, dù nó không đúng chất "Toán" cho lắm nhé !!
Trước tiên, ta chứng minh [imath]x^5-x[/imath] chia hết cho 5 với mọi số nguyên x (đúng theo Fermat nhỏ) -- Hoặc bạn có thể chứng minh bằng xét trường hợp or phân tích nhân tử.
Từ đó suy ra [imath]a^5-b^5 \equiv a-b (mod 5)[/imath]
TH1: [imath]a-b[/imath] không chia hết cho 5
Dễ thấy, khi bạn xét các trường hợp thì 2 số cùng dư khi chia cho 5 (khác 0) nếu chia hết thì thương của chúng là 1 số chia 5 dư 1.
Thật vậy khi đó ta viết biểu thức là [imath]5k+r = (5m+r)(5n+p) \Rightarrow 5k + r =25mn + 5(mp+nr) + rp \Rightarrow r(p-1) \vdots 5[/imath] Mà r không chia hết cho 5
[imath]\Rightarrow p=1[/imath] Nên thương chia 5 dư 1.
Mà 2 chia 5 dư 2 . Suy ra vô lý.
TH2: a,b cùng dư khi chia cho 5,
Biến đổi biểu thức ta có: [imath]2 = a^4 +a^3b +a^2b^2 + ab^3 + b^4 \equiv 5a^4 \equiv 0 (mod 5)[/imath] (vô lý)
Vậy giả sử sai, nên [imath]a=b[/imath]

Bạn còn điều gì thắc mắc có thể comment dưới bài viết này để được giải đáp nhé.
Ngoài ra , hãy cùng tham khảo các box toán khác của diễn đàn để học tập thêm nhiều kiến thức nhé!!

Toán - [Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS​

 

[2712-0-3]

Cho a,b TM :
a) a,b nguyên , a^2+b^2 chia hết cho 3^2019 ; CMR ab chia hết cho 3^2020
b) a,b nguyên dương , n nguyên dương lẻ , a^n + b^n là lũy thừa của 3 . CMR n cũng là lũy thừa của 3
c) a,b nguyên TM 2a + 3b ; 3a - 2b là SCP ; CMR a,b chia hết cho 13
d) a^5 - 2a = b^5 - 2b ; CMR a = b

CheemsĐến câu c) nhé
-------------------------
c) Đặt [imath]2a+3b=x^2 ; 3a-2b =y^2 \Rightarrow 13 a =2x^2+3y^2[/imath] nên [imath]2x^2+3y^2[/imath] chia hết cho 13
(tính ra nháp) Ta thấy 1 số chính phương chia 13 dư 0, 1, 3 ,4 ,9 ,10,12
Vì thế nên [imath]2x^2[/imath] chia 13 dư 0, 2 , 6 , 8 , 5, 7 , 11
Suy ra [imath]3y^2[/imath] chia 13 dư 0, 11, 7, 5,8 ,6 , 2 . Mà 3, 13 nguyên tố cùng nhau
Suy ra [imath]y^2[/imath] chia 13 dư 0, 8, 11 , 6 , 7 , 2 , 5
Khi đó, kết hợp điều kiện trên cho ta thấy [imath]x^2, y^2[/imath] đều chia hết cho 13
Nên [imath]x,y \vdots 13 \Rightarrow 2x^2+3y^2 \vdots 13^2 \Rightarrow a \vdots 13 \Rightarrow b \vdots 13[/imath]

Bạn còn điều gì thắc mắc có thể comment dưới bài viết này để được giải đáp nhé.
Ngoài ra , hãy cùng tham khảo các box toán khác của diễn đàn để học tập thêm nhiều kiến thức nhé!!

Toán - [Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS​