Toán 9 số học

[Longkhanh05@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình lm bài này với:
Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn [tex]n^2+3^n[/tex] là số chính phương!
Ps: Mình chỉ làm đc tới đây: Đặt [tex]n^2+3^n=k^2\Leftrightarrow[/tex] [tex](k-n)(k+n)=3^{n}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Bài này sử dụng 1 bổ đề khá đặc biệt: Với [tex]n\geq 4[/tex] thì [tex]3n^2< 3^n[/tex]
Dễ thấy n = 4 thỏa mãn. Ta sẽ giả sử điều đó đúng với n = k.
Khi n = k + 1 thì [tex]3^{k+1}=3.3^k> 3(3k^2)=3[(k+1)^2+2k^2-2k-1]> 3(k+1)^2[/tex]
Vậy ta có đpcm.
Quay về bài toán. Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} k-n=3^p\\ k+n=3^q \end{matrix}\right.(q>p)\Rightarrow 3^{q-p}=\frac{k+n}{k-n}=1+\frac{2n}{k-n}\geq 3\Rightarrow \Rightarrow \frac{n}{k-n}\geq 1\Rightarrow n\geq k-n\Rightarrow 2n\geq k\Rightarrow 3^n=(k-n)(k+n)\leq (2n-n)(2n+n)=3n^2[/tex]
Theo bổ đề thì n phải nhỏ hơn 4. Xét trực tiếp n từ 1 tới 3 ta thấy n = 1 và n = 3.
Cái mấu chốt của bài toán là sử dụng bổ đề trên. Nhưng đi thi bổ đề này phải theo kinh nghiệm mới làm được chứ mò mẫm thì mất rất nhiều thời gian.