Toán Số học

[Hạnh Hạnh Alison]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm số nguyên dương m,n sao cho $$2^{n}+21=m^{2}$$
Bài 2: Tìm số hữu tỉ x sao cho $$x^{2}+x+5$$ là số chính phương
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên
a, $$2x+1=y(x^{2}+x+1)$$
b, $$5x+25=-3xy+8y^{2}$$
c, $$\left | \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{10}\right |= \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{10}}$$

@bonechimte@gmail.com bác coi mấy bài số học này nè

 

[Phạm Văn Chung]

Đặt $x^2+x+5=n^2 \\\Rightarrow -(4x^2+4x+1)+n^2=19 \\\Rightarrow (n-2x-1)(n+2x+1)=19=1.19=19.1=..$
Giải hệ tìm $x,n$

 

[Hạnh Hạnh Alison]

tex]\left ( x^{2} +x+5 = n^{2}\right ) \Leftrightarrow 4x^{2}+4x +20 =4n^{2} \Leftrightarrow 4n^{2}-\left ( 4x^{2}+4x+1 \right )= 19 \Leftrightarrow \left ( 2n-2x-1 \right )\left ( 2n+2x+1 \right )=1.19 2n-2x-1 = 1 và 2n+2x+1 = 19 giải hệ bạn nhận được x = 4[/tex]

gõ lại telex đc k ạ?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1:
Xét $n=1,n=2$ tìm $m$ xem thỏa mãn không?
Xét $n \geq 3$ khi đó $2^n+21$ chia $8$ dư $5$.
Mà $m^2$ chia $8$ luôn dư $0,1,4$
Do đó với $n \geq 3$ thì không có nghiệm nguyên.
KL:...
Bài 2:
Do $x$ hữu tỉ nên dặt x=$\frac{a}{b}$
Ta đi chứng minh $x$ phải nguyên
nếu $x$ ko nguyên thì hiển nhiên $(a;b)=1$ và $b \neq 1$
Ta có: $\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a}{b}+6 =k^{2}\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a}{b} \epsilon Z$
$\Rightarrow \dfrac{a(a+b)}{b^{2}}\epsilon Z \Rightarrow a(a+b)\vdots b \Rightarrow a+b\vdots b\Rightarrow a\vdots b$(trái với giả sử)
Vậy $x$ nguyên. Làm như cách của bạn ở trên là ok.

$\left ( x^{2} +x+5 = n^{2}\right ) \Leftrightarrow 4x^{2}+4x +20 =4n^{2} \\\Leftrightarrow 4n^{2}-\left ( 4x^{2}+4x+1 \right )= 19 \\\Leftrightarrow \left ( 2n-2x-1 \right )\left ( 2n+2x+1 \right )=1.19 2n-2x-1 = 1$ và $2n+2x+1 = 19$ giải hệ bạn nhận được $x = 4$

Chưa chắc đúng ạ. tại $x$ hữu tỉ nên ta phải đi chứng minh $x$ nguyên mới làm được cách này...

 

[Tony Time]

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên
a,

b,

Giúp bác hai bài này trc nhá ^^
a) Pt tương đương
$$y=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$$
Mà y là số nguyên
Suy ra [TEX]2x+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]
Nên ta có: $$\frac{x(2x+1)}{x^2+x+1}=\frac{2(x^2+x+1)-(x+1)}{x^2+x+1}=2-\frac{(x+1)}{x^2+x+1}$$
Lập luận tương tự, suy ra [TEX]x+1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]
Nên ta có: $$\frac{x(x+1)}{x^2+x+1}=1-\frac{1}{x^2+x+1}$$
Lập luận như trên, suy ra [TEX]1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2+x+1[/TEX]
Hay [TEX]x^2+x+1[/TEX] thuộc Ư(1)
Tới đây dễ rồi, tìm x thay vào tìm y thôi

b) Pt tương đương
$$x=\frac{8y^2-25}{3y+5}=3y-5-\frac{y^2}{3y+5}$$
Mà x là số nguyên
Suy ra [TEX]y^2[/TEX] chia hết [TEX]3y+5[/TEX]
Nên ta có:
$$\frac{9y^2}{3y+5}=3y-5+\frac{25}{3y+5}$$
Lập luận như trên, suy ra [TEX]3y+5[/TEX] thuộc Ư(25)
Tới đây bác tự chém tiếp nhá ^^

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1: Tìm số nguyên dương m,n sao cho

Bài 1:
$2^n+21=m^2$
Dễ thấy $m^2$ là số chính phương lẻ nên $m$ là số lẻ
Đặt $m=2k+1\Rightarrow 2^{n-2}+5=k^2+k$
Với $n>2\Rightarrow 2^{n-2}+5$ ko chia hết cho $2$ => vô lí
Với $n=2\Rightarrow k=-3$ or $k=2\Rightarrow m=\pm 5$
Với $n<2\Rightarrow 2^{n-2}+5\notin \mathbb{Z}$ => vô lí
Vậy...

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Câu cuối thì áp dụng bổ đề:
$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}|$
Với $a+b+c=0$ là ra nhé.
P/s: Chia ra cho dễ nhìn để bạn trên có thể thấy lỗi sai nhé ._. Đừng ai làm ninja mà báo cáo tui nhé ._.

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Câu cuối thì áp dụng bổ đề:
$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}|$
Với $a+b+c=0$ là ra nhé.
P/s: Chia ra cho dễ nhìn để bạn trên có thể thấy lỗi sai nhé ._. Đừng ai làm ninja mà báo cáo tui nhé ._.

Ai báo cáo bác giờ? :v

 

[Phạm Văn Chung]

bài 3

gõ lại telex đc k?

có người chỉnh rồi đó

 

[Hạnh Hạnh Alison]

vân tương tự mà bạn @Nữ Thần Mặt Trăng

 

[Phạm Văn Chung]

Bài 1:
Xét $n=1,n=2$ tìm $m$ xem thỏa mãn không?
Xét $n \geq 3$ khi đó $2^n+21$ chia $8$ dư $5$.
Mà $m^2$ chia $8$ luôn dư $0,1,4$
Do đó với $n \geq 3$ thì không có nghiệm nguyên.
KL:...
Bài 2:
Do $x$ hữu tỉ nên dặt x=$\frac{a}{b}$
Ta đi chứng minh $x$ phải nguyên
nếu $x$ ko nguyên thì hiển nhiên $(a;b)=1$ và $b \neq 1$
Ta có: $\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a}{b}+6 =k^{2}\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{a}{b} \epsilon Z$
$\Rightarrow \dfrac{a(a+b)}{b^{2}}\epsilon Z \Rightarrow a(a+b)\vdots b \Rightarrow a+b\vdots b\Rightarrow a\vdots b$(trái với giả sử)
Vậy $x$ nguyên. Làm như cách của bạn ở trên là ok.


Chưa chắc đúng ạ. tại $x$ hữu tỉ nên ta phải đi chứng minh $x$ nguyên mới làm được cách này...

x = 4 là số hữu tỉ mà bạn

 

[Hạnh Hạnh Alison]

$\left ( x^{2} +x+5 = n^{2}\right ) \Leftrightarrow 4x^{2}+4x +20 =4n^{2} \\\Leftrightarrow 4n^{2}-\left ( 4x^{2}+4x+1 \right )= 19 \\\Leftrightarrow \left ( 2n-2x-1 \right )\left ( 2n+2x+1 \right )=1.19 2n-2x-1 = 1$ và $2n+2x+1 = 19$ giải hệ bạn nhận được $x = 4$

Từ chỗ này là k đc ạ

 

[Phạm Văn Chung]

Từ chỗ này là k đc ạ

bạn sắp xếp lại lời giải và thêm lí luận là ok

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

x = 4 là số hữu tỉ mà bạn

Vâng nhưng giả sử $x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{3}{4}$ vẫn thỏa mãn $x^2+x+5$ là số chính phương thì sao ạ? Do vậy bước ban đầu phải chứng minh $x$ phải nguyên chứ nếu không đoạn $(n-2x-1)(n+2x+1)=19=...$ là vô nghĩa. Do chắc gì $x$ đã nguyên mà tách số 19 ra tích các thừa số nguyên mà giải hệ?

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Vâng nhưng giả sử $x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{3}{4}$ vẫn thỏa mãn $x^2+x+5$ là số chính phương thì sao ạ? Do vậy bước ban đầu phải chứng minh $x$ phải nguyên chứ nếu không đoạn $(n-2x-1)(n+2x+1)=19=...$ là vô nghĩa. Do chắc gì $x$ đã nguyên mà tách số 19 ra tích các thừa số nguyên mà giải hệ?

Nếu không làm cách k cần CM x nguyên mà ra số hữu tỉ thì làm ntn ạ?

 

[Phạm Văn Chung]

Bạn xem lại định nghĩa về số chính phương. "" Số chính phương là một số bằng bình phương của một số nguyên.''