Toán [Số học 9] Nguyên lí Dirichlet + Bất biến

[Hiếu Xuân Trần]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Trên đường tròn, một số cung được tô màu đen, phần còn lại tô màu đỏ. Biết tổng độ dài các cung màu đen nhỏ hơn nửa chu vi đường tròn. Chứng minh có thể kẻ một đường kính của đường tròn với hai đầu mút cùng màu đỏ
Bài 2
Trên bàn cờ 10x10, người ta viết các số từ 1 đến 100. Mỗi hàng chọn ra số lớn thứ ba. Chứng minh tồn tại một hàng có tổng các số lớn thứ ba được chọn
Bài 3
Trong một giải vô địch bóng đá có 10 đội tham gia, hai đội bất kì đấu với nhau đúng 1 trận. Chứng minh tại mọi thời điểm của giải đấu, luôn có 2 đội có số trận bằng nhau
Bài 4
Tam thức [TEX]f(x)[/TEX] có thể thay bằng các tam thức [TEX]x^2f(\frac{1}{x}+1+1)[/TEX] hoặc [TEX](x-1)^2f(\frac{1}{x-1})[/TEX]
Có thể hay không bằng các phép biến đổi như vậy từ tam thức [TEX]x^2+4x+3[/TEX] thu được [TEX]x^2+10x+9[/TEX]
@Nguyễn Xuân Hiếu @Otaku8874 @Phạm hoàng Lâm @Nữ Thần Mặt Trăng @chi254 @Dương Bii @Tony Time

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 2 ghi đề thiếu rồi nhé ._.
Bài này là đề thi trại hè hùng vương
Gọi các số lớn thứ ba của mỗi hàng theo thứ tự là $a_9>a_8>a_7>a_6>a_5>a_4>a_3>a_2>a_1>a_0$
Dễ thấy có nhiều nhất $20$ phần tử lớn hơn $a_9$(Các số lớn thứ nhất, thứ hai)
Do đó $a_9 \geq 80$ tương tự thì $a_8 \geq 72$(có $28$ phần tử lớn hơn $a_8$)
Kết hợp với sự sắp xếp thứ tự các dãy ta có:
$a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \geq 80+72+(a_{0}+7)+(a_{0}+6)+...+a_{0}=180+9a_{0}$
Mặt khác xét hàng có số $a_0$ khi đó tổng các số trong hàng sẽ nhỏ hơn:
$100+99+a_0+(a_0-1)+(a_0-6)=9a_0+171$
Mà $9a_0+171<9a_0+180$(dpcm)
Bài 4:
Hướng dẫn:
Không thể thay thế được.
Pt nhân tử ra :$(x+1)(x+9)=x^2+4x+3$ và $x^2+10x+9=(x+1)(x+9)$
Giờ giả sử $f(x)=x^2+4x+3$ sẽ được biến đổi hoàn toàn về đa thức $(x-1)^2f(\dfrac{1}{x-1}$ vô hạn với $n$ lần. Thì thử với $n=2$ thì nó sẽ cứ giảm bậc nên không thể đạt bậc $2$.
Sau đó thử với các trường biến đổi lần lượt đa thức này thành đa thức khác(Thử thôi) thì các hệ số của $x$ trong đa thức luôn $>1$.
P/s: Hướng là thế để trưa về trình bày lại :v

 

[Hiếu Xuân Trần]

Bài 2 ghi đề thiếu rồi nhé ._.
Bài này là đề thi trại hè hùng vương
Gọi các số lớn thứ ba của mỗi hàng theo thứ tự là $a_9>a_8>a_7>a_6>a_5>a_4>a_3>a_2>a_1>a_0$
Dễ thấy có nhiều nhất $20$ phần tử lớn hơn $a_9$(Các số lớn thứ nhất, thứ hai)
Do đó $a_9 \geq 80$ tương tự thì $a_8 \geq 72$(có $28$ phần tử lớn hơn $a_8$)
Kết hợp với sự sắp xếp thứ tự các dãy ta có:
$a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \geq 80+72+(a_{0}+7)+(a_{0}+6)+...+a_{0}=180+9a_{0}$
Mặt khác xét hàng có số $a_0$ khi đó tổng các số trong hàng sẽ nhỏ hơn:
$100+99+a_0+(a_0-1)+(a_0-6)=9a_0+171$
Mà $9a_0+171<9a_0+180$(dpcm)
Bài 4:
Hướng dẫn:
Không thể thay thế được.
Pt nhân tử ra :$(x+1)(x+9)=x^2+4x+3$ và $x^2+10x+9=(x+1)(x+9)$
Giờ giả sử $f(x)=x^2+4x+3$ sẽ được biến đổi hoàn toàn về đa thức $(x-1)^2f(\dfrac{1}{x-1}$ vô hạn với $n$ lần. Thì thử với $n=2$ thì nó sẽ cứ giảm bậc nên không thể đạt bậc $2$.
Sau đó thử với các trường biến đổi lần lượt đa thức này thành đa thức khác(Thử thôi) thì các hệ số của $x$ trong đa thức luôn $>1$.
P/s: Hướng là thế để trưa về trình bày lại :v

Bác ơi e giải được bài 1 r bác chỉ e bài 3 với ._.

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Số trận cá đội có thể đấu là $0,1,2,3,5,6,7,8,9$
Dễ thấy giá trị $0,9$ không thể trùng lặp vì khi có đội 0 đá trận nào thì max là $8$ trận và nếu đội có thi đấu 9 trận cũng chả có thể có đội k thi đấu trận nào.
Do đó theo dirichlet có đpcm :>