Toán số học 9 khó

Nguyễn Xuân Hiếu

Cựu Mod Toán | Nhất đồng đội Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng bảy 2016
1,123
1,495
344
20
Đắk Nông
Bạn có thể chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại $ab$ là lẻ để $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên.
Khi đó thì rõ ràng : [tex]a \equiv 1 (mod 4),b \equiv 1 (mod 4) \\\Rightarrow VT=a^2+b^2 \equiv 2(mod 4)(*)[/tex]
Ta có :$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Xét trường hợp x,y cùng chẵn hoặc cùng lẻ khi đó :
$(x-y)(x+y) \equiv 0 (mod 4)$ trái với (*).
x,y không cùng chẵn hoặc cùng lẻ (khác tính chẵn lẻ) khi đó :
$x^2-y^2=(x-y)(x+y) \equiv 1,3(mod 4)$ nên cũng trái với (*)(Cái này mình dành cho bạn tự chứng minh nhé ^^.Gợi ý:do x,y không cùng chẵn lẻ nên đặt $x-y=2m+1,x+y=2n+1$...)
Kết luân :Vậy nếu có xảy ra $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên thì $ab$ phải chẵn...
 

phuonganh2404

Học sinh chăm học
Thành viên
5 Tháng sáu 2015
33
3
101
20
Ha Noi
Bạn có thể chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại $ab$ là lẻ để $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên.
Khi đó thì rõ ràng : [tex]a \equiv 1 (mod 4),b \equiv 1 (mod 4) \\\Rightarrow VT=a^2+b^2 \equiv 2(mod 4)(*)[/tex]
Ta có :$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Xét trường hợp x,y cùng chẵn hoặc cùng lẻ khi đó :
$(x-y)(x+y) \equiv 0 (mod 4)$ trái với (*).
x,y không cùng chẵn hoặc cùng lẻ (khác tính chẵn lẻ) khi đó :
$x^2-y^2=(x-y)(x+y) \equiv 1,3(mod 4)$ nên cũng trái với (*)(Cái này mình dành cho bạn tự chứng minh nhé ^^.Gợi ý:do x,y không cùng chẵn lẻ nên đặt $x-y=2m+1,x+y=2n+1$...)
Kết luân :Vậy nếu có xảy ra $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên thì $ab$ phải chẵn...
bạn thiếu 1 chiều là từ a.b chẵn => a^2+b^2=x^2-y^2. nhưng thôi ra rồi . thanks
 
Top Bottom