Toán số học 9 khó

[phuonganh2404]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giả sử a,b thuộc Z+. CMR: a^2+b^2 biểu diễn dưới dạng hiệu của 2 bình phương đúng <=> a.b chẵn

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bạn có thể chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại $ab$ là lẻ để $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên.
Khi đó thì rõ ràng : [tex]a \equiv 1 (mod 4),b \equiv 1 (mod 4) \\\Rightarrow VT=a^2+b^2 \equiv 2(mod 4)(*)[/tex]
Ta có :$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Xét trường hợp x,y cùng chẵn hoặc cùng lẻ khi đó :
$(x-y)(x+y) \equiv 0 (mod 4)$ trái với (*).
x,y không cùng chẵn hoặc cùng lẻ (khác tính chẵn lẻ) khi đó :
$x^2-y^2=(x-y)(x+y) \equiv 1,3(mod 4)$ nên cũng trái với (*)(Cái này mình dành cho bạn tự chứng minh nhé ^^.Gợi ý:do x,y không cùng chẵn lẻ nên đặt $x-y=2m+1,x+y=2n+1$...)
Kết luân :Vậy nếu có xảy ra $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên thì $ab$ phải chẵn...

 

[phuonganh2404]

Bạn có thể chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại $ab$ là lẻ để $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên.
Khi đó thì rõ ràng : [tex]a \equiv 1 (mod 4),b \equiv 1 (mod 4) \\\Rightarrow VT=a^2+b^2 \equiv 2(mod 4)(*)[/tex]
Ta có :$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
Xét trường hợp x,y cùng chẵn hoặc cùng lẻ khi đó :
$(x-y)(x+y) \equiv 0 (mod 4)$ trái với (*).
x,y không cùng chẵn hoặc cùng lẻ (khác tính chẵn lẻ) khi đó :
$x^2-y^2=(x-y)(x+y) \equiv 1,3(mod 4)$ nên cũng trái với (*)(Cái này mình dành cho bạn tự chứng minh nhé ^^.Gợi ý:do x,y không cùng chẵn lẻ nên đặt $x-y=2m+1,x+y=2n+1$...)
Kết luân :Vậy nếu có xảy ra $a^2+b^2=x^2-y^2$ với $x,y$ nguyên thì $ab$ phải chẵn...

bạn thiếu 1 chiều là từ a.b chẵn => a^2+b^2=x^2-y^2. nhưng thôi ra rồi . thanks