Nguyễn Chi XuyênĐặt [imath]p^3-4p+9=a^2[/imath] với a là số tự nhiên.
[imath]\Rightarrow p(p-2)(p+2)=(a-3)(a+3)[/imath]
Suy ra [imath]a-3\vdots p[/imath] hoặc [imath]a+3 \vdots p[/imath] và [imath]a-3>0[/imath]
TH1: [imath]a-3\vdots p\Rightarrow a-3=pk\Rightarrow a=pk+3[/imath] với k là số tự nhiên
[imath]\Rightarrow k(pk+6) = p^2-4 \Rightarrow p^2 - k^2p - (6k+4) =0 (1)[/imath]
Xét [imath]k=0 \Rightarrow p=2[/imath] (thỏa mãn)
Xét [imath]k=1 \Rightarrow p[/imath] không phải số nguyên (loại)
Xét [imath]k=2 \Rightarrow p[/imath] không phải số nguyên (loại)
Xét [imath]k=3 \Rightarrow p=11[/imath] (thỏa mãn)
Xét [imath]k=4 \Rightarrow p[/imath] không phải số nguyên (loại)
Xét [imath]k\geq 5[/imath]
(1) có nghiệm nguyên khi
[imath]\Delta = (-k^2)^2 + 4.1.(6k+4) = k^4 + 24k+16[/imath] là số chính phương
Xét hiệu: [imath](k^2+3)^2 - \Delta = 6k^2-24k-7 = 6(k-2)^2 -31 \geq 6.3^2 -31 > 0[/imath]
Suy ra [imath]\Delta < (k^2+3)^2[/imath]
Mà [imath]\Delta > (k^2)^2[/imath] , [imath]\Delta[/imath] là số chính phương.
Nên ta có các trường hợp nhỏ:
+ [imath]\Delta = (k^2+1)^2 \Rightarrow k[/imath] không phải số nguyên (loại)
+ [imath]\Delta = (k^2+2)^2 \Rightarrow k[/imath] không phải số nguyên (loại)
TH2: [imath]a+3 \vdots p \Rightarrow a+3=pk[/imath] với k là số nguyên dương.
[imath]\Rightarrow (pk-6)k=p^2-4 \Rightarrow p^2 -k^2 p + (6k-4)=0 (2)[/imath]
Xét [imath]k=1 \Rightarrow[/imath] vô nghiệm (loại)
Xét [imath]k=2\Rightarrow[/imath] vô nghiệm (loại)
Xét [imath]k=3 \Rightarrow p=2[/imath] hoặc [imath]p=7[/imath] (thỏa mãn)
Xét [imath]k\geq 4[/imath]
(2) có nghiệm nguyên khi:
[imath]\Delta = k^4 -4 (6k-4) = k^4 -24k+16[/imath] là số chính phương.
Dễ có: [imath]\Delta < (k^2)^2[/imath]
Xét hiệu: [imath]\Delta - (k^2-3)^2 = 6k^2-24k+7 = 6(k-2)^2 -17 \geq 6.3^2 -17 > 0[/imath]
Suy ra [imath]\Delta > (k^2-3)^2[/imath]
Nên ta có các trường hợp nhỏ:
+ [imath]\Delta = (k^2-2)^2 \Rightarrow k[/imath] không phải số nguyên (loại)
+ [imath]\Delta = (k^2-1)^2 \Rightarrow k[/imath] không phải số nguyên (loại)
Vậy [imath]p=2,p=7,p=11[/imath] là các số nguyên tố thỏa mãn
Ngoài ra mời em tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
