Giả sử tồn tại m, n tự nhiên thỏa mãn n^2 = (m+1)^3 - m^3 . Chứng minh rằng n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
Ta có: [TEX]n^2 = (m+1)^3 - m^3 \leftrightarrow n^2=m^3+1+3m^2+3m-m^3 \leftrightarrow n^2=3m^2+3m+1 \leftrightarrow 4n^2=12m^2+12m+4 \leftrightarrow 4n^2-1=3(4m^2+4m+1) \leftrightarrow (2n-1)(2n+1)=3(2m+1)^2 (1)[/TEX]
Gọi d là ƯCLN của 2n-1 và 2n+1 [tex](d \epsilon N^*)[/tex]
[TEX]=> \{\begin{matrix} 2n-1\vdots d\\ 2n+1\vdots d \end{matrix} =>2n+1-(2n-1) \vdots d[/TEX] hay [TEX]2 \vdots d =>d \epsilon Ư(2)[/TEX]
Mà [TEX]d \epsilon N^* =>d \epsilon {1;2} [/TEX]
Nếu d=2 thì [TEX]2n+1 \vdots 2 =>1 \vdots 2 =>vô lí =>d=1 =>(2n-1;2n+1)=1 (2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra xảy ra 2 TH:
TH1: [TEX]\{\begin{matrix} 2n+1=a^2\\ 2n-1=3b^2 \end{matrix} =>\{\begin{matrix} 2n-1+2=a^2\\ 2n-1=3b^2 \end{matrix} =>a^2=3b^2+2[/TEX]
Do [TEX]3b^2 \vdots 3[/TEX] nên [TEX]3b^2+2[/TEX] chia 3 dư 2=> [TEX]a^2[/TEX] chia 3 dư 2 =>vô lí (do [TEX]a^2[/TEX] là scp)
Th2: [TEX]\{\begin{matrix} 2n+1=3a^2\\ 2n-1=b^2 \end{matrix}[/TEX]
Do [TEX]b^2[/TEX] là scp nên 2n-1 là scp. Mà 2n-1 là số lẻ=> 2n-1 là scp lẻ
Đặt [TEX]2n-1=(2k+1)^2 (k \epsilon N) =>2n-1=4k^2+4k+1 =>2n=4k^2+4k+2 =>n=2k^2+2k+1 =>n=k^2+(k^2+2k+1) =>n=k^2+(k+1)^2[/TEX]
Do [TEX]k \epsilon N[/TEX] nên [TEX]k^2 và (k+1)^2[/TEX] là 2 scp liên tiếp
=>đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
