số chính phương

[congquyen134]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tìm một số tự nhiên N có 4 chữ số biết rằng N là số chính phương và N là bội số của 147
2/ Cho 2 số tự nhiên a và b (a, b khác 0) thỏa mãn điều kiện 2a^2 + a = 3b^2 +3. C/m a-b; 2a + 2b +1 đều là các số chính phương
3/ Cho x, y, z là 3 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và 1/x = 1/y = 1/z. Hỏi x+y có phải là số chính phương k?
4/ C/m nếu a,b đều là tổng của 2 số chính phương thì tích ab cũng là tổng của 2 số chính phương?


>->->->->->-

 

[soccan]

$1)$
gọi số cần tìm thỏa mãn đề bài là $x$
đặt $x=147k=3.7^2k$ với $k$ nguyên dương
thế thì $k$ phải có dạng $3m^2$ với $m$ nguyên dương
từ điều kiện của $x$ suy ra $7 \le k \le 68$ kéo theo $2 \le m \le 4$
lần lượt thử với $m$ như trên ta nhận được cả $3$ giá trị $m$ thỏa mãn là $m \in$ {$2;3;4$}
vậy có $3$ số phải tìm là $1764;3969$ và $7056$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. $(2a+2b+1)(a-b)=b^2$
Giả sử $d=(2a+2b+1, a-b)$ thì $d\mid b$ nên $d\mid a$, suy ra $d\mid 1$ nên $d=1$
Vậy $2a+2b+1$ và $a-b$ là số chính phương.
Bài 3. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$ chứ.
Quy đồng lên ta được $z(x+y)=xy$
Giả sử $p\mid x+y$ với $p\in\mathbb{P}$, khi đó $p\mid xy$
Vậy $p\mid x$ hoặc $p\mid y$ nên $p\mid x$ và $p\mid y$
Nếu $p\mid z$ thì $(x,y,z)=p$, điều này vô lý do $(x,y,z)=1$
Vậy ta phải có $(z,x+y)=1$, mà $xy$ chính phương nên $x+y$ chính phương.
Bài 4. Giả sử $a=x^2+y^2$ và $b=z^2+t^2$ thì $ab=(xz)^2+(xt)^2+(yz)^2+(yt)^2=(xz+yt)^2+(xt-yz)^2$