Toán 9 Số chính phương , số nguyên tố

Mộc Nhãn

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,295
10,569
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
1. Thử chọn với [TEX]p \leq 7[/TEX] ta có [TEX]p=3[/TEX] thỏa mãn.
Xét [TEX]p \geq 11[/TEX]. Đặt [TEX]\frac{7^{p-1}-1}{p}=t^2(t \in \mathbb{N})[/TEX]
Ta có: [TEX]pt^2=7^{p-1}-1 \vdots 3 \Rightarrow t^2 \vdots 3 \Rightarrow t \vdots 3 \Rightarrow pt^2 \vdots 9[/TEX]
Lại có: [TEX]7^{p-1}-1=6(7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1) \Rightarrow 7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1 \vdots 3 \Rightarrow p-1 \vdots 3[/TEX]
Tương tự, vì [TEX]pt^2 \vdots 2 \Rightarrow pt^2 \vdots 4 \Rightarrow 7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1 \vdots 2 \Rightarrow p-1 \vdots 2 \Rightarrow p-1 \vdots 6 \Rightarrow p=6k+1(k \in \mathbb{N})[/TEX]
Ta có: [TEX]pt^2=7^{6k}-1=(7^{3k}-1)(7^{3k}+1)[/TEX]
Vì [TEX](7^{3k}-1,7^{3k}+1)=2[/TEX] nên xảy ra 2 trường hợp:
+ [TEX]7^{3k}-1=2a^2,7^{3k}+1=2pb^2(a,b \in \mathbb{N}^*; (a,b)=1)[/TEX]
Khi đó [TEX]a^2 \equiv 3(\mod 7)[/TEX](không tồn tại [TEX]a[/TEX] thỏa mãn)
+ [TEX]7^{3k}-1=2pa^2, 7^{3k}+1=2b^2 (a,b \in \mathbb{N}^*; (a,b)=1)[/TEX]
Ta thấy [TEX](7^k+1)(7^{2k}-7^k+1)=2b^2[/TEX] và [TEX](7^k+1,7^{2k}-7^k+1)=1,7^k+1 \vdots 2[/TEX] nên [TEX]7^k+1=2x^2,7^{2k}-7^k+1=y^2(x,y \in \mathbb{N}^*;(x,y)=1)[/TEX]
Mà [TEX](7^k)^2>7^{2k}-7^k+1=y^2>(7^k-1)^2[/TEX] nên không tồn tại [TEX]k[/TEX] thỏa mãn.
Vậy [TEX]p=3[/TEX] là nghiệm duy nhất.

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.
 
Last edited:

Mộc Nhãn

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,295
10,569
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
2. Từ giả thiết ta có [tex]x^2-9=p^2(y^2-1)\Rightarrow (x-3)(x+3)=p^2(y^2-1)[/tex]
Với [TEX]p=2[/TEX] ta có [TEX]x^2-9=4y^2-4 \Rightarrow x^2-4y^2=5 \Rightarrow (x-2y)(x+2y)=5 \Rightarrow x+2y=5,x-2y=1 \Rightarrow x=3,y=1[/TEX](loại)
Với [TEX]p=3[/TEX] ta có [TEX]x=3y[/TEX] thỏa mãn.
Với [TEX]p=5[/TEX] ta có [TEX]x^2-9=25(y^2-1) \Rightarrow 25y^2-x^2=16 \Rightarrow (5y-x)(5y+x)=16 \Rightarrow 5y-x=2,5y+x=8 \Rightarrow y=1,x=3[/TEX](loại)
Xét [TEX]p \geq 7[/TEX]. Khi đó dễ thấy [TEX]6 \vdots (x+3,x-3)[/TEX] mà [TEX](p,6)=1[/TEX] nên [TEX](x+3,x-3)=1[/TEX]
Suy ra [TEX]x-3 \vdots p^2 [/TEX] hoặc [TEX]x+3 \vdots p^2[/TEX].
+ [TEX]x-3 \vdots p^2[/TEX]. Đặt [TEX]x-3=kp^2(k \in \mathbb{N}) \Rightarrow x+3=\frac{y^2-1}{k}[/TEX]
Khi đó [TEX]kp^2+6=\frac{y^2-1}{k} \Rightarrow k^2p^2+6k=y^2-1 \Rightarrow y^2-k^2p^2=6k+1 \Rightarrow 6k+1=(y-kp)(y+kp)[/TEX]
Nhận thấy [TEX]y+kp > 0 \Rightarrow y-kp>0 \Rightarrow y-kp \geq 1[/TEX]
Mà [TEX]y+kp >1+6k \Rightarrow 6k+1 >1.(6k+1)[/TEX](mâu thuẫn)
+ [TEX]x+3 \vdots p^2 \Rightarrow x+3=kp^2(k \in \mathbb{N}) \Rightarrow x-3=\frac{y^2-1}{k}[/TEX]
Ta có: [TEX]kp^2-6=\frac{y^2-1}{k} \Rightarrow y^2-1=k^2p^2-6k \Rightarrow k^2p^2-y^2=6k-1 \Rightarrow (kp-y)(kp+y)=6k-1[/TEX]
Vì [TEX]kp+y>0 \Rightarrow kp-y > 0 \Rightarrow kp-y \geq 1[/TEX]. Mà [TEX]kp+y>6k-1[/TEX] nên suy ra mâu thuẫn.
Vậy chỉ có [TEX]p=3[/TEX] thỏa mãn bài toán.

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.
 
Last edited:
Top Bottom