1. Thử chọn với [TEX]p \leq 7[/TEX] ta có [TEX]p=3[/TEX] thỏa mãn.
Xét [TEX]p \geq 11[/TEX]. Đặt [TEX]\frac{7^{p-1}-1}{p}=t^2(t \in \mathbb{N})[/TEX]
Ta có: [TEX]pt^2=7^{p-1}-1 \vdots 3 \Rightarrow t^2 \vdots 3 \Rightarrow t \vdots 3 \Rightarrow pt^2 \vdots 9[/TEX]
Lại có: [TEX]7^{p-1}-1=6(7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1) \Rightarrow 7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1 \vdots 3 \Rightarrow p-1 \vdots 3[/TEX]
Tương tự, vì [TEX]pt^2 \vdots 2 \Rightarrow pt^2 \vdots 4 \Rightarrow 7^{p-2}+7^{p-3}+...+7+1 \vdots 2 \Rightarrow p-1 \vdots 2 \Rightarrow p-1 \vdots 6 \Rightarrow p=6k+1(k \in \mathbb{N})[/TEX]
Ta có: [TEX]pt^2=7^{6k}-1=(7^{3k}-1)(7^{3k}+1)[/TEX]
Vì [TEX](7^{3k}-1,7^{3k}+1)=2[/TEX] nên xảy ra 2 trường hợp:
+ [TEX]7^{3k}-1=2a^2,7^{3k}+1=2pb^2(a,b \in \mathbb{N}^*; (a,b)=1)[/TEX]
Khi đó [TEX]a^2 \equiv 3(\mod 7)[/TEX](không tồn tại [TEX]a[/TEX] thỏa mãn)
+ [TEX]7^{3k}-1=2pa^2, 7^{3k}+1=2b^2 (a,b \in \mathbb{N}^*; (a,b)=1)[/TEX]
Ta thấy [TEX](7^k+1)(7^{2k}-7^k+1)=2b^2[/TEX] và [TEX](7^k+1,7^{2k}-7^k+1)=1,7^k+1 \vdots 2[/TEX] nên [TEX]7^k+1=2x^2,7^{2k}-7^k+1=y^2(x,y \in \mathbb{N}^*;(x,y)=1)[/TEX]
Mà [TEX](7^k)^2>7^{2k}-7^k+1=y^2>(7^k-1)^2[/TEX] nên không tồn tại [TEX]k[/TEX] thỏa mãn.
Vậy [TEX]p=3[/TEX] là nghiệm duy nhất.
Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.