Toán 10 [SGK Mới] [Chương IX] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

[chi254]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tọa độ của vectơ​

1) Tọa độ của vectơ đối với 1 hệ trục tọa độ

• Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm $O$(gọi là điểm gốc) và 1 vectơ $\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng 1 gọi là vecto đơn vị của trục
• Hệ trục tọa độ: $(O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$ gồm 2 trục $(O; \overrightarrow{i})$ và $(O;\overrightarrow{j})$ vuông góc với nhau. Điểm gốc $O$ chung gọi là gốc tọa độ. Trục $(O;\overrightarrow{i})$ gọi là trục hoành và trục $(O;\overrightarrow{j})$ gọi là trục tung
• Mặt phẳng mà trên đó đã cho 1 hệ trục $Oxy$ gọi là mặt phẳng tọa độ $Oxy$ hay gọi tắt là mặt phẳng $Oxy$
• Tọa độ của 1 vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$; cặp số $(x;y)$ trong biểu diễn $\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$ được gọi là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$
• Tọa độ 1 điểm: Tọa độ của $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ điểm $M$

2) Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Cho 2 vecto $\overrightarrow{a} = (a_1; a_2) ; \overrightarrow{b} = (b_1;b_2)$ và số thực $k$. Khi đó:

• Tổng 2 vecto: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)$
• Hiệu 2 vecto: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2)$
• Tích của vecto với 1 số: $k\overrightarrow{a}= (ka_1; ka_2)$
• Tích vô hướng 2 vecto: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (a_1.b_1; a_2.b_2)$

VD1: Cho $\overrightarrow{a} = (2;3) ; \overrightarrow{b} = (1;5)$
a) Tìm tọa độ các vectơ: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}; \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}; 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$
b) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Lời giải:
a)
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 +1; 3+5) = (3;8)$
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 -1; 3-5) = (1;-2)$
$2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = 2(2;3) + 3(1;5) = (4;6) + (3;15) = (7;21)$

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (2.1; 3.5) = (2;15)$

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:

• Cho 2 điểm $A(x_A;y_A); B(x_B;y_B)$. Tọa độ trung điểm $M$ là: $M\left (\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$
• Cho tam giác $A(x_A;y_A); B(x_B;y_B); C(x_C;y_C)$. Tọa độ trọng tâm $G(x_G;y_G)$ của tam giác $ABC$ là: $G \left (\dfrac{x_A + x_B+x_C}{3} ; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$

VD2: Cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh là: $A(2;2) ; B(6;3) ; C(5;5)$
a) Tìm tọa độ trung điểm của $M$ của $AB$
b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$

Lời giải:
a) Ta có: $M \left (\dfrac{2+6}{2} ; \dfrac{2+3}{2} \right) \iff M \left (4 ; \dfrac{5}{2} \right)$

b) $x_G = \dfrac{2 + 6 +5}{3} = \dfrac{13}{3}$
$y_G = \dfrac{2 + 3 +5}{3} = \dfrac{10}{3}$

Một số tính chất: Cho $\overrightarrow{a} = (a_1; a_2) ; \overrightarrow{b} = (b_1;b_2)$. Ta có:

• $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff a_1b_1 + a_2b_2 = 0$
• $\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b}$ cùng phương $\iff a_1b_2 - a_2b_1 = 0$
• $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
• $\cos (\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$

VD3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\Delta ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;1); B(5;2) ; C(4;4)$
Tìm tọa độ chân đường cao $H$ là chân đường cao của $\Delta ABC$ kẻ từ $B$

Lời giải:
Gọi $H(x;y)$ là chân đường cao kẻ từ $B$. $\overrightarrow{BH} = (x -5;y-2); \overrightarrow{AC} = (3;3) ; \overrightarrow{AH} = (x-1;y-1)$
Ta có:

• $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \to \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} =0 \iff 3(x -5) + 3(y-2) = 0$
• $\overrightarrow{AH} ;\overrightarrow{AC}$ cùng phương nên: $3(x -1) - 3(y-1) = 0$
• Giải HPT tìm được: $x = \dfrac{7}{2} ; y = \dfrac{7}{2}$

 

[chi254]

Bài tập SGK Bài 1 ​

1) Trên trục $(O;\overrightarrow{e})$ cho các điểm $A;B;C;D$ có tọa độ lần lượt là: $4;-1;-5;0$
a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trục đó
b) Hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng hay ngược hướng?

Lời giải:
a) Tự biểu diễn các điểm trên trục số
b) Hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng

Các bài toán sau đây xét trong $mp(Oxy)$
2) Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{a} = (4; -6)$ và $\overrightarrow{b}= (-2; 3)$ là hai vectơ ngược hướng.
b) $\overrightarrow{a} = (-2; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (-8; 12)$ là hai vectơ cùng hướng.
c) $\overrightarrow{a} = (0; 4)$ và $\overrightarrow{b} = (0; -4)$ là hai vectơ đối nhau.

Lời giải:
a) Ta có: $\dfrac{4}{-2} = \dfrac{-6}{3} = -2$. Suy ra: $\overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{b}$. Suy ra: $\overrightarrow{a} = (4; -6)$ và $\overrightarrow{b}= (-2; 3)$ là hai vectơ ngược hướng.

b) Tương tự ta có: $\overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{a}$. Suy ra: $\overrightarrow{a} = (-2; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (-8; 12)$ là hai vectơ cùng hướng.

c) $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$. Suy ra: $\overrightarrow{a} = (0; 4)$ và $\overrightarrow{b} = (0; -4)$ là hai vectơ đối nhau.

3) Tìm tọa độ các vecto sau:
a) $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j}$
b) $\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$
c) $\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{i}$
d) $\overrightarrow{d} = -9\overrightarrow{j}$

Lời giải:
a) $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} = 2(1;0) + 7(0;1) = (2;7)$
b) $\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} = -(1;0) + 3(0;1) = (-1;3)$
c) $\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{i} = (4;0)$
d) $\overrightarrow{d} = -9\overrightarrow{j} = (0;-9)$

4) Cho bốn điểm $A(3; 5), B(4;0), C(0; -3), D(2; 2)$. Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
a) Thuộc trục hoành;
b) Thuộc trục tung;
c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Lời giải:
a) Điểm $B$ thuộc trục hoành
b) Điểm $C$ thuộc trục tung
c) Điểm $A;D$ thuộc góc phần tư thứ nhất

5) Cho điểm $M(x_o; y_o)$. Tìm tọa độ:
a) Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên trục $Ox;$
b) Điểm $M’$ đối xứng với điểm $M$ qua trục $Ox;$
c) Điểm $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục $Oy;$
d) Điểm $M’’$ là điểm đối xứng với điểm $M$ qua trục $Oy;$
e) Điểm $C$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ.

Lời giải:
a) Vì điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên trục $Ox$ nên tọa độ của điểm $H$ là $(x_o; 0)$.

b) Vì điểm $M’$ đối xứng với điểm $M$ qua trục $Ox$ nên hoành độ điểm $M$ và $M’$ bằng nhau, còn tung độ điểm $M$ bằng và tung độ điểm $M’$ đối nhau.
Do đó tọa độ điểm $M’$ là $(x_o; -y_o).$

c) Vì điểm $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên trục $Oy$ nên hoành độ của điểm $K$ bằng $0$ và tung điểm $K$ là tung độ của điểm $M.$ Do đó tọa độ điểm $K$ là $(0; y_o)$

d) Vì điểm $M’’$ là điểm đối xứng với điểm $M$ qua trục $Oy$ nên tung độ của điểm $M’’$ bằng tung độ của điểm $M$, còn hoành độ điểm $M’’$ và hoành độ điểm M là hai số đối của nhau. Do đó tọa độ điểm $M’’$ là $(-x_o; y_o).$

e) Vì điểm $C$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ nên hoành độ và tung độ của điểm C là số đối của lần lượt hoành độ và tung độ của điểm $M$. Do đó tọa độ điểm $C$ là $(-x_o; -y_o).$

6) Cho ba điểm $A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5).$
a) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là một hình bình hành.
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành $ABCD.$
c) Giải tam giác $ABC.$

Lời giải:
a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
Suy ra: $D(4;2)$

b) Tọa độ giao điểm 2 đường chéo là trung điểm của $AC$. Khi đó: $O\left (\dfrac{7}{2}; \dfrac{7}{2} \right)$

c) Tìm $\overrightarrow{AB} = (1;3)$. Suy ra: $AB =\sqrt{10}$
Tương tự ...

7) Cho tam giác ABC có các điểm $M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.
c) Giải tam giác ABC.

Lời giải:
a) Ta có: $MPNB$ là hình bình hành suy ra: $\overrightarrow{MP} =\overrightarrow{BN} \to B(0;3)$
Tương tự với $A(4;1)$ ; $C(6;5)$

b) Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là: $G \left (\dfrac{10}{3} ; 3 \right)$
Tọa độ trọng tâm $G'$ của $\Delta MNP$ là: $G' \left (\dfrac{10}{3} ; 3 \right)$
Suy ra: đpcm

c) Tương tự bài 6

8) Cho hai điểm $A(1; 3), B(4; 2).$
a) Tìm tọa độ điểm $D$ nằm trên trục $Ox$ sao cho $DA = DB.$
b) Tính chu vi tam giác $OAB.$
c) Chứng minh rằng : $OA \perp AB$ và từ đó tính diện tích $\Delta OAB$

Lời giải:
a) $D \in Ox \to D(d;0)$
Ta có: $\overrightarrow{AD} = (d-1;-3) \to AD = \sqrt{(d-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{d^2 - 2d+10}$
Tương tự: $BD = \sqrt{d^2-8d + 20}$
Do $AD = BD \to d = \dfrac{5}{3}$

b) $\overrightarrow{OA} = (1;3) \to OA = \sqrt{10}$
$\overrightarrow{OB} = (4;2) \to OB = 2\sqrt{5}$
$\overrightarrow{AB} = (3;-1) \to AB = \sqrt{10}$

Chu vi $\Delta OAB$ là: $2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}$

c) $\overrightarrow{OA} . \overrightarrow{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0$
Suy ra: $OA \perp AB$

$\Delta OAB = \dfrac{1}{2}.OA.AB = 5$

 

[chi254]

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (1)​

1. Phương trình đường thẳng

• Vecto $\overrightarrow{u}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$
• Vecto $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu $\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vecto chỉ phương của $\Delta$

Chú ý:

• Nếu đường thẳng $\Delta$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (a;b)$ thì $\Delta$ sẽ nhận $\overrightarrow{u} = (-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (b;-a)$ làm 1 vectơ chỉ phương
• Nếu $\overrightarrow{u}$ là 1 vecto chỉ phương thì $k\overrightarrow{u}$ cũng là vecto chỉ phương ($k \ne 0)$
• Nếu $\overrightarrow{n}$ là 1 vecto pháp tuyến thì $k\overrightarrow{n}$ cũng là vecto pháp tuyến ($k \ne 0)$

VD1: Cho đường thẳng $\Delta$ có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;1)$. Tìm 1 vecto chỉ phương:
Lời giải: $\overrightarrow{u} = (1;-2)$

2) Phương trình tham số của đường thẳng:

Trong mp $(Oxy)$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o(x_o;y_o)$ và nhận $\overrightarrow{u} =(u_1;u_2)$ làm vecto chỉ phương. Khi đó phương trình tham số là: $\begin{cases} x = x_o+tu_1\\ y = y_o + tu_2\end{cases}$ với $(u_1^2 + u_2^2 > 0; t \in \R$)

VD2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;7)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;-2)$ làm vecto chỉ phương

Lời giải: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\begin{cases} x = 2+t\\ y = 7-2t\end{cases}$

VD3: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;7)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;-2)$ làm vecto pháp tuyến

Lời giải: Một vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (2;1)$
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\begin{cases} x = 2+2t\\ y = 7 + t\end{cases}$

3) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Trong mặt phẳng $Oxy$ , mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax + by + c = 0$ và $a;b$ không đồng thời bằng $0$
$\overrightarrow{n}= (a;b)$ gọi là vecto pháp tuyến

VD4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;7)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;-2)$ làm vecto chỉ phương

Lời giải: Một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;1)$
Phương trình tổng quát là: $2(x -2) + (y-7) = 0 \iff 2x + y -11 = 0$

VD5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm $A(1;1)$ ; $B(2;3)$

Lời giải: $\overrightarrow{AB} = (1;2)$
Suy ra: $\overrightarrow{n} = (2;-1)$

Phương trình tổng quát đi qua 2 điểm $A;B$ là: $2(x -1) - 1(y - 1) = 0 \iff 2x - y - 1 = 0$

Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua 2 điểm $A(x_A; y_A); B(x_B;y_B)$ có dạng: $\dfrac{x - x_A}{x_B - x_A} = \dfrac{y - y_A}{y_B - y_A}$
• Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt trục $Ox$ và $Oy$ tại $A(a;0)$ và $B(0;b) \ (a;b \ne 0)$ thì phương trình $\Delta$ có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ ( Gọi là phương trình đoạn chắn)

4) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng:

Đồ thị hàm số bậc nhất $y =kx + y_o$ là 1 đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;y_o)$ và có hệ số góc $k$
Đồ thị hàm số bậc nhất $y = kx + y_o$ là 1 đường thẳng có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (k;-1)$ và có phương trình tổng quát là: $kx - y + y_o = 0$. Đường thẳng này không vuông góc với $Ox$ và $Oy$

VD6: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị các hàm số bậc nhất sau:
a) $d_1: y = 2x + 3$
b) $d_2: y= \dfrac{-1}{2}.x + 5$

Lời giải:
a) Ta có: $y = 2x + 3 \iff 2x - y + 3 = 0$
Vậy phương trình tổng quát của $d_1$ là: $2x - y + 3 = 0$

b) Ta có: $y = \dfrac{-1}{2}.x + 5 \iff x + 2y - 10 = 0$
Vậy phương trình tổng quát của $d_2$ là: $x +2y - 10 = 0$

5) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho 2 đường thẳng: $\Delta _1: a_1x + b_1y + c_1= 0 (a_1^2 + b_1^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và đường thẳng: $\Delta _2: a_2x + b_2y + c_2= 0 (a_2^2 + b_2^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$. Ta xét vị trí tương đối như sau:

Nếu $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì $\Delta _1$ và $\Delta _2$ song song với nhau. Lấy 1 điểm $P$ tùy ý trên $\Delta _1$

• Nếu $P \in \Delta _2$ thì $\Delta _1 = \Delta _2$
• Nếu $P \notin \Delta _2$ thì $\Delta _1 // \Delta _2$

Nếu $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì $\Delta _1$ và $\Delta _2$ cắt nhau tại 1 điểm $M(x_o;y_o)$ với $(x_o;y_o)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1= 0 \\ a_2x + b_2y + c_2= 0 \end{cases}$


VD7: Xét vị trí tương đối của $\Delta _1 : 2x + y - 2 = 0$ và $\Delta _2: x - 2 = 0$

Lời giải:
$\overrightarrow{n_1} = (2;1) ; \overrightarrow{n_2} = (1;0)$
Ta có: $a_1b_2 - a_2b_1 = -1 \ne 0$. Nên $\overrightarrow{n_1} = (2;1) ; \overrightarrow{n_2} = (1;0)$ không cùng phương. Vậy $\Delta _1$ và $\Delta _2$ cắt nhau
Tọa độ giao điểm là: $\begin{cases} 2x + y - 2 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{cases}$

Giải hệ thu được tọa độ giao điểm là: $M(2;-2)$

 

[chi254]

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (2)​

6) Góc giữa 2 đường thẳng
Khái niệm góc giữa 2 đường thẳng: Hai đường thẳng $\Delta _1$ và $\Delta _2$ cắt nhau tạo thành 4 góc:

• Nếu $\Delta _1$ không vuông góc với $\Delta _2$ thì góc nhọn trong 4 góc đó gọi là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _1$ và $\Delta _2$
• Nếu $\Delta _1 \perp \Delta _2$ thì ta nói góc giữa $\Delta _1$ và $\Delta _2$ là 90^o$

Quy ước:

• Nếu $\Delta _1 // \Delta _2$ hoặc trùng nhau thì góc giữa $\Delta _1$ và $\Delta _2$ là : $0^o$
• Góc giữa 2 đường thẳng $\Delta _1$ và $\Delta _2$ được kí hiệu là: $\widehat{(\Delta _1,\Delta _2)}$ hoặc $(\Delta _1;\Delta _2)$

VD1: Cho hình vuông $ABCD$. Tính các góc: $(AB;AC) ; (AB;AD); (AD;BC)$

Lời giải:
Ta có: $\widehat{BAC} =45^o$. Suy ra: $(AB;AC) = 45^o$
$AB \perp AD \to (AB;AD) = 90^o$
$AD //BC \to (AD;BC) = 0^o$

Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng:

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho 2 đường thẳng: $\Delta _1: a_1x + b_1y + c_1= 0 (a_1^2 + b_1^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và đường thẳng: $\Delta _2: a_2x + b_2y + c_2= 0 (a_2^2 + b_2^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$.

Khi đó, công thức tính góc là: $\cos (\Delta _1; \Delta _2) = \dfrac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$


Chú ý:

• $(\Delta _1; \Delta _2) = 90^o \iff a_1a_2 + b_1b_2 = 0$

VD2: Tìm số đo của góc giữa 2 đường thẳng: $d_1: x - y = 0 ; d_2: x - 2y = 0$

Ta có: $\cos (d_1; d_2)= \dfrac{|1.1+ (-1)(-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}.\sqrt{1^2 + (-2)^2}}= \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

7) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Trong mp $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0 \ (a^2 + b^2 >0)$ và $M_o(x_o;y_o)$. Khoảng cách từ điểm $M_o$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu $d(M_o;\Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M_o;\Delta) = \dfrac{|a_o + by_o + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

VD3: Tính khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta: 2x + y + 3 = 0$

Lời giải: $d(O;\Delta) = \dfrac{|3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}$

VD4: Tính khoảng cách từ $M(1;2)$ đến $\Delta: 3x - 4y +12 = 0$

Lời giải: $d(M;\Delta) = \dfrac{|1.3 - 4.2 + 12 |}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{7}{5}$

VD5: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng: $d_1: 4x - 3y +2 = 0$ và $d_2: 4x - 3y + 12= 0$

Lời giải: $d_1 // d_2$

Gọi $M(1;2)$ thuộc $d_1$
Ta có: $d(d_1;d_2) = d(M;d_2) = \dfrac{|4.1 - 3.2 + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \dfrac{10}{5} = 2$

VD6: Trong mp $Oxy$, cho điểm $S(x;y)$ di động trên đường thẳng $d: 12x - 5y + 16 = 0$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5;10)$ đến $S$

Lời giải: $SM_{min} = d(M;d) = \dfrac{|12.5 - 5.10 + 16|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \dfrac{26}{13} = 2$

 

[chi254]

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ​

1. Phương trình đường tròn

• Phương trình: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ được gọi là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$

Nhận xét: Ta có: $(x - a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \iff x^2 + y^2 - 2ax - 2by+ (a^2 + b^2 - R^2) = 0$
Vậy phương trình đường tròn được viết dưới dạng: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ trong đó: $x = a^2 + b^2 - R^2$.
Khi đó: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} \ (a^2 + b^2 - c > 0)$

VD1: Viết phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:
a) $(C)$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R$
b) $(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R =2$
c) $(C)$ đi qua 3 điểm $A(3;6); B(2;3); C(6;5)$

Lời giải:
a) $x^2 + y^2 =R^2$
b) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$

c) Gọi PT đường tròn tổng quát: $(x - a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Đặt $R^2 = c$

Do 3 điểm $A; B;C$ đều thuộc đường tròn nên ta có hệ PT: $\begin{cases} (3 - a)^2 + (6 -b)^2 = c \\ (2 - a)^2 + (3 -b)^2 = c \\ (6 - a)^2 + (5 -b)^2 = c \end{cases}$

Giải hệ PT 3 ẩn ta có: $a = 4 ; b = 4; c = 5$

VD2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ có phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) $(x - 2)^2 + (y -1)^2 = 9$
b) $(x +2)^2 + (y + 1)^2 = 4$
c) $x^2 + (y +6)^2 = 25$

Lời giải:
a) $I(2;1) ; R = 3$
b) $I(-2;-1); R =2$
c) $I(0;-6); R= 5$

VD3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn:
a) $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$
b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0$

Lời giải:
a) $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$
Có: $a = 2; b = 1; c = -4$. Khi đó: $a^2 + b^2 - c = 9 > 0$.
Vậy đây là phương trình đường tròn

b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0$
Ta có: $a = 1; b = 2; c = 9$. Khi đó: $a^2 + b^2 - c = -4 < 0$
Vậy đây không là phương trình đường tròn

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I(a;b)$ tại điểm $M_o(x_o;y_o)$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_o)(x - x_o) + (b - y_o)(y - y_o) = 0$

VD4: Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 5$ tại điểm $M(2;1)$

Lời giải: $1^2 + 2^2 = 5 \to M \in C$
Phương trình tiếp tuyến là: $(0-1)(x -1) + (0 -2)(y -2) = 0 \iff x + 2y - 5 = 0$


VD5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ tại điểm $M(4;6)$

Lời giải:
Ta có: $4^2 + 6^2 - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$. Suy ra: $M \in (C)$
$(C)$ có tâm $I(1;2)$; Bán kính $R = 5$
Phương trình tiếp tuyến là: $(1-4)(x -4) + (2 -6)(y -6) = 0 \iff -3(x-4) - 4(y-6) = 0 \iff 3x + 4y -36 =0$

 

[chi254]

BT SGK bài 3​

1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$;
b) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2 = 0$;
c) $x^2 + y^2 - 3x + 2y + 7 = 0$;
d) $2x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0.$

Lời giải:
a) Phương trình đã cho có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 3, b = 4, c = 21.$

Ta có: $a^2 + b^2 - c = 3^2 + 4^2 - 21 = 4 > 0$.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm $I(3; 4)$ và bán kính $R 2.$

b) Phương trình đã cho có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 1, b = - 2, c = 2.$

Ta có: $a^2 + b^2 - c = 1^2 + (-2)^2 - 2 = 3 > 0.$

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

c) Phương trình đã cho có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \dfrac{3}{2}, b = -1, c = 7.$

Ta có: $a^2 + b^2 - c = \left (\dfrac{3}{2} \right)^2 + (-1)^2 – 7 = \dfrac{-15}{4}< 0.$

Vậy ...

d) $2x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0$ $\iff x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}y - \dfrac{1}{2} = 0$

Phương trình đã cho có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \dfrac{-1}{4}, b = \dfrac{-1}{4}, c = \dfrac{-1}{2}$.

Ta có: $a^2 + b^2 - c = \dfrac{5}{8} > 0$

Vậy ...

2) Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:
a) $(C)$ có tâm $I(1; 5)$ có bán kính $r = 4;$
b) $(C)$ có đường kính $MN$ với $M(3; -1)$ và $N(9; 3);$
c) $(C)$ có tâm $I(2; 1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $5x - 12y + 11 = 0;$
d) $(C)$ có tâm $A(1; -2)$ và đi qua điểm $B(4; -5).$

Lời giải:

a) $(x-1)^2 + (y-5)^2 = 16$

b) $R = \dfrac{MN}{2} = \dfrac{\sqrt{6^2 + 4^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{52}}{2}$
PT đường tròn là: $(x - 6)^2 + (y-1)^2 = 13$

c) $R = d(I;d) = \dfrac{|5.2 - 12.1 +11|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \dfrac{9}{13}$
PT đường tròn là: $(x - 2)^2 + (y-1)^2 = \left (\dfrac{9}{13} \right)^2$

d) $R = AB = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}$
PT đường tròn là: $(x - 1)^2 + (y+2)^2 = 18$

3. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:
a) $M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);$
b) $A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0).$

Giải hệ PT tương tự VD1 c)

4. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $A(4; 2).$

Lời giải:
Gọi đường tròn cần tìm là $(C)$ có tâm là $I(a; b)$ và bán kính $R.$

Vì đường tròn $(C)$ tiếp xúc với hai trục tọa độ $Ox, Oy$ và đi qua điểm $A(4; 2)$ nên $a = b$ và $R = a.$
Khi đó phương trình đường tròn (C) là: $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$

Ta lại có đường tròn (C) đi qua điểm $A(4; 2)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn (C) ta được: $(4 - a)^2 + (2 - a)^2 = a^2$

Giải PT tìm được: $a = 2$ hoặc $a = 10$
Với $a = 10$, phương trình đường tròn cần tìm là: $(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$

Với $a = 2$, phương trình đường tròn cần tìm là: $(x -2 )^2 + (y - 2)^2 = 4$

5. Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$.
a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4; 6)$ thuộc đường tròn $(C).$
b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4; 6).$
c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0.$

Lời giải:
a) Thay tọa độ điểm $M$ vào PT, thỏa mãn. Suy ra: đpcm
b) Xét phương trình đường tròn (C): $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \iff (x -1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

Suy ra: Đường tròn đã cho là đường tròn (C) có tâm $I(1; 2)$ và $R = 5.$
Phương trình tiếp tuyến nhận $\overrightarrow{IM} = (3;4)$ là VTPT: $3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x + 4y -36 = 0$

6) Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2 m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.
b) Một chiếc xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Lời giải:
a) Cổng hình bán nguyệt nghĩa là một nửa đường tròn:
Tâm của đường tròn là gốc $O(0; 0).$

Bán kính của đường tròn là $R = 4,2.$

Khi đó phương trình đường tròn (phương trình mô phỏng cổng với $y \ge 0$) là: $x^2 + y^2 = 17.76$



b) Gọi điểm cao nhất của chiếc xe tải là A, tọa độ điểm $A(2,2; 2,6)$. Để biết được xe tải đi đúng làn đường quy định mà có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không nghĩa là điểm A phải nằm trong đường tròn hay nói cách khác là khoảng cách từ A đến tâm của đường tròn nhỏ hơn bán kính.

Tính được: $OA = \sqrt{2,2^2 + 2,6^2} < 4,2$
Suy ra: Điểm A nằm trong đường tròn đã cho.
Vậy một chiếc xe tải rộng $2,2m$ và cao $2,6m$ đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.