Toán 10 [SGK Mới] [Chương IX] Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tọa độ của vectơ
1) Tọa độ của vectơ đối với 1 hệ trục tọa độ
  • Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm OO(gọi là điểm gốc) và 1 vectơ e\overrightarrow{e} có độ dài bằng 1 gọi là vecto đơn vị của trục
  • Hệ trục tọa độ: (O;i;j)(O;\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}) gồm 2 trục (O;i)(O; \overrightarrow{i})(O;j)(O;\overrightarrow{j}) vuông góc với nhau. Điểm gốc OO chung gọi là gốc tọa độ. Trục (O;i)(O;\overrightarrow{i}) gọi là trục hoành và trục (O;j)(O;\overrightarrow{j}) gọi là trục tung
  • Mặt phẳng mà trên đó đã cho 1 hệ trục OxyOxy gọi là mặt phẳng tọa độ OxyOxy hay gọi tắt là mặt phẳng OxyOxy
  • Tọa độ của 1 vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy; cặp số (x;y)(x;y) trong biểu diễn a=xi+yj\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} được gọi là tọa độ của vecto a\overrightarrow{a}
  • Tọa độ 1 điểm: Tọa độ của OM\overrightarrow{OM} chính là tọa độ điểm MM
2) Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Cho 2 vecto a=(a1;a2);b=(b1;b2)\overrightarrow{a} = (a_1; a_2) ; \overrightarrow{b} = (b_1;b_2) và số thực kk. Khi đó:

  • Tổng 2 vecto: a+b=(a1+b1;a2+b2)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)
  • Hiệu 2 vecto: ab=(a1b1;a2b2)\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2)
  • Tích của vecto với 1 số: ka=(ka1;ka2)k\overrightarrow{a}= (ka_1; ka_2)
  • Tích vô hướng 2 vecto: a.b=(a1.b1;a2.b2)\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (a_1.b_1; a_2.b_2)
VD1: Cho a=(2;3);b=(1;5)\overrightarrow{a} = (2;3) ; \overrightarrow{b} = (1;5)
a) Tìm tọa độ các vectơ: a+b;ab;2a+3b\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}; \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}; 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}
b) Tính a.b\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

Lời giải:

a)
a+b=(2+1;3+5)=(3;8)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 +1; 3+5) = (3;8)
ab=(21;35)=(1;2)\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 -1; 3-5) = (1;-2)
2a+3b=2(2;3)+3(1;5)=(4;6)+(3;15)=(7;21)2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = 2(2;3) + 3(1;5) = (4;6) + (3;15) = (7;21)

b) a.b=(2.1;3.5)=(2;15)\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (2.1; 3.5) = (2;15)

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
  • Cho 2 điểm A(xA;yA);B(xB;yB)A(x_A;y_A); B(x_B;y_B). Tọa độ trung điểm MM là: M(xA+xB2;yA+yB2)M\left (\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)
  • Cho tam giác A(xA;yA);B(xB;yB);C(xC;yC)A(x_A;y_A); B(x_B;y_B); C(x_C;y_C). Tọa độ trọng tâm G(xG;yG)G(x_G;y_G) của tam giác ABCABC là: G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3)G \left (\dfrac{x_A + x_B+x_C}{3} ; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
VD2: Cho tam giác ABCABC có tọa độ các đỉnh là: A(2;2);B(6;3);C(5;5)A(2;2) ; B(6;3) ; C(5;5)
a) Tìm tọa độ trung điểm của MM của ABAB
b) Tìm tọa độ trọng tâm GG của ΔABC\Delta ABC


Lời giải:
a) Ta có: M(2+62;2+32)    M(4;52)M \left (\dfrac{2+6}{2} ; \dfrac{2+3}{2} \right) \iff M \left (4 ; \dfrac{5}{2} \right)

b) xG=2+6+53=133x_G = \dfrac{2 + 6 +5}{3} = \dfrac{13}{3}
yG=2+3+53=103y_G = \dfrac{2 + 3 +5}{3} = \dfrac{10}{3}

Một số tính chất: Cho a=(a1;a2);b=(b1;b2)\overrightarrow{a} = (a_1; a_2) ; \overrightarrow{b} = (b_1;b_2). Ta có:
  • ab    a1b1+a2b2=0\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff a_1b_1 + a_2b_2 = 0
  • a;b\overrightarrow{a} ; \overrightarrow{b} cùng phương     a1b2a2b1=0\iff a_1b_2 - a_2b_1 = 0
  • a=a12+a22|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
  • cos(a;b)=a.ba.b=a1b1+a2b2a12+a22.b12+b22\cos (\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}
VD3: Trong mặt phẳng OxyOxy, cho ΔABC\Delta ABC có tọa độ các đỉnh A(1;1);B(5;2);C(4;4)A(1;1); B(5;2) ; C(4;4)
Tìm tọa độ chân đường cao HH là chân đường cao của ΔABC\Delta ABC kẻ từ BB


Lời giải:

Gọi H(x;y)H(x;y) là chân đường cao kẻ từ BB. BH=(x5;y2);AC=(3;3);AH=(x1;y1)\overrightarrow{BH} = (x -5;y-2); \overrightarrow{AC} = (3;3) ; \overrightarrow{AH} = (x-1;y-1)
Ta có:
  • AHBCAH.BC=0    3(x5)+3(y2)=0\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \to \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} =0 \iff 3(x -5) + 3(y-2) = 0
  • AH;AC\overrightarrow{AH} ;\overrightarrow{AC} cùng phương nên: 3(x1)3(y1)=03(x -1) - 3(y-1) = 0
  • Giải HPT tìm được: x=72;y=72x = \dfrac{7}{2} ; y = \dfrac{7}{2}
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Bài tập SGK Bài 1

1) Trên trục (O;e)(O;\overrightarrow{e}) cho các điểm A;B;C;DA;B;C;D có tọa độ lần lượt là: 4;1;5;04;-1;-5;0
a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trục đó
b) Hai vecto AB\overrightarrow{AB}CD\overrightarrow{CD} cùng hướng hay ngược hướng?

Lời giải:

a) Tự biểu diễn các điểm trên trục số
b) Hai vecto AB\overrightarrow{AB}CD\overrightarrow{CD} ngược hướng

Các bài toán sau đây xét trong mp(Oxy)mp(Oxy)
2) Chứng minh rằng:

a) a=(4;6)\overrightarrow{a} = (4; -6)b=(2;3)\overrightarrow{b}= (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.
b) a=(2;3)\overrightarrow{a} = (-2; 3)b=(8;12)\overrightarrow{b} = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c) a=(0;4)\overrightarrow{a} = (0; 4)b=(0;4)\overrightarrow{b} = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Lời giải:

a) Ta có: 42=63=2\dfrac{4}{-2} = \dfrac{-6}{3} = -2. Suy ra: a=2b\overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{b}. Suy ra: a=(4;6)\overrightarrow{a} = (4; -6)b=(2;3)\overrightarrow{b}= (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b) Tương tự ta có: b=4a\overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{a}. Suy ra: a=(2;3)\overrightarrow{a} = (-2; 3)b=(8;12)\overrightarrow{b} = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c) a=b\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}. Suy ra: a=(0;4)\overrightarrow{a} = (0; 4)b=(0;4)\overrightarrow{b} = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

3) Tìm tọa độ các vecto sau:
a) a=2i+7j\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j}
b) b=i+3j\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}
c) c=4i\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{i}

d) d=9j\overrightarrow{d} = -9\overrightarrow{j}

Lời giải:

a) a=2i+7j=2(1;0)+7(0;1)=(2;7)\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} = 2(1;0) + 7(0;1) = (2;7)
b) b=i+3j=(1;0)+3(0;1)=(1;3)\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} = -(1;0) + 3(0;1) = (-1;3)
c) c=4i=(4;0)\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{i} = (4;0)
d) d=9j=(0;9)\overrightarrow{d} = -9\overrightarrow{j} = (0;-9)

4) Cho bốn điểm A(3;5),B(4;0),C(0;3),D(2;2)A(3; 5), B(4;0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
a) Thuộc trục hoành;
b) Thuộc trục tung;

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Lời giải:

a) Điểm BB thuộc trục hoành
b) Điểm CC thuộc trục tung
c) Điểm A;DA;D thuộc góc phần tư thứ nhất

5) Cho điểm M(xo;yo)M(x_o; y_o). Tìm tọa độ:
a) Điểm HH là hình chiếu vuông góc của điểm MM trên trục Ox;Ox;
b) Điểm MM’ đối xứng với điểm MM qua trục Ox;Ox;
c) Điểm KK là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;Oy;
d) Điểm M’’M’’ là điểm đối xứng với điểm MM qua trục Oy;Oy;

e) Điểm CC đối xứng với MM qua gốc tọa độ.

Lời giải:

a) Vì điểm HH là hình chiếu vuông góc của điểm MM trên trục OxOx nên tọa độ của điểm HH(xo;0)(x_o; 0).

b) Vì điểm MM’ đối xứng với điểm MM qua trục OxOx nên hoành độ điểm MMMM’ bằng nhau, còn tung độ điểm MM bằng và tung độ điểm MM’ đối nhau.
Do đó tọa độ điểm MM’(xo;yo).(x_o; -y_o).

c) Vì điểm KK là hình chiếu vuông góc của điểm MM trên trục OyOy nên hoành độ của điểm KK bằng 00 và tung điểm KK là tung độ của điểm M.M. Do đó tọa độ điểm KK(0;yo)(0; y_o)

d) Vì điểm M’’M’’ là điểm đối xứng với điểm MM qua trục OyOy nên tung độ của điểm M’’M’’ bằng tung độ của điểm MM, còn hoành độ điểm M’’M’’ và hoành độ điểm M là hai số đối của nhau. Do đó tọa độ điểm M’’M’’(xo;yo).(-x_o; y_o).

e) Vì điểm CC đối xứng với MM qua gốc tọa độ nên hoành độ và tung độ của điểm C là số đối của lần lượt hoành độ và tung độ của điểm MM. Do đó tọa độ điểm CC(xo;yo).(-x_o; -y_o).

6) Cho ba điểm A(2;2),B(3;5),C(5;5).A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5).
a) Tìm tọa độ điểm DD sao cho ABCDABCD là một hình bình hành.
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành ABCD.ABCD.

c) Giải tam giác ABC.ABC.

Lời giải:

a) Do ABCDABCD là hình bình hành nên: AB=DC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
Suy ra: D(4;2)D(4;2)

b) Tọa độ giao điểm 2 đường chéo là trung điểm của ACAC. Khi đó: O(72;72)O\left (\dfrac{7}{2}; \dfrac{7}{2} \right)

c) Tìm AB=(1;3)\overrightarrow{AB} = (1;3). Suy ra: AB=10AB =\sqrt{10}
Tương tự ...

7) Cho tam giác ABC có các điểm M(2;2),N(3;4),P(5;3)M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có: MPNBMPNB là hình bình hành suy ra: MP=BNB(0;3)\overrightarrow{MP} =\overrightarrow{BN} \to B(0;3)
Tương tự với A(4;1)A(4;1) ; C(6;5)C(6;5)

b) Tọa độ trọng tâm GG của ΔABC\Delta ABC là: G(103;3)G \left (\dfrac{10}{3} ; 3 \right)
Tọa độ trọng tâm GG' của ΔMNP\Delta MNP là: G(103;3)G' \left (\dfrac{10}{3} ; 3 \right)
Suy ra: đpcm

c) Tương tự bài 6

8) Cho hai điểm A(1;3),B(4;2).A(1; 3), B(4; 2).
a) Tìm tọa độ điểm DD nằm trên trục OxOx sao cho DA=DB.DA = DB.
b) Tính chu vi tam giác OAB.OAB.

c) Chứng minh rằng : OAABOA \perp AB và từ đó tính diện tích ΔOAB\Delta OAB

Lời giải:

a) DOxD(d;0)D \in Ox \to D(d;0)
Ta có: AD=(d1;3)AD=(d1)2+(3)2=d22d+10\overrightarrow{AD} = (d-1;-3) \to AD = \sqrt{(d-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{d^2 - 2d+10}
Tương tự: BD=d28d+20BD = \sqrt{d^2-8d + 20}
Do AD=BDd=53AD = BD \to d = \dfrac{5}{3}

b) OA=(1;3)OA=10\overrightarrow{OA} = (1;3) \to OA = \sqrt{10}
OB=(4;2)OB=25\overrightarrow{OB} = (4;2) \to OB = 2\sqrt{5}
AB=(3;1)AB=10\overrightarrow{AB} = (3;-1) \to AB = \sqrt{10}

Chu vi ΔOAB\Delta OAB là: 210+252\sqrt{10} + 2\sqrt{5}

c) OA.AB=1.3+3.(1)=0\overrightarrow{OA} . \overrightarrow{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0
Suy ra: OAABOA \perp AB

ΔOAB=12.OA.AB=5\Delta OAB = \dfrac{1}{2}.OA.AB = 5
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (1)

1. Phương trình đường thẳng
  • Vecto u\overrightarrow{u} được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng Δ\Delta nếu u0\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0} và giá của u\overrightarrow{u} song song hoặc trùng với Δ\Delta
  • Vecto n\overrightarrow{n} được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng Δ\Delta nếu u0\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0} và giá của n\overrightarrow{n} vuông góc với vecto chỉ phương của Δ\Delta
Chú ý:
  • Nếu đường thẳng Δ\Delta có vecto pháp tuyến là n=(a;b)\overrightarrow{n} = (a;b) thì Δ\Delta sẽ nhận u=(b;a)\overrightarrow{u} = (-b;a) hoặc u=(b;a)\overrightarrow{u} = (b;-a) làm 1 vectơ chỉ phương
  • Nếu u\overrightarrow{u} là 1 vecto chỉ phương thì kuk\overrightarrow{u} cũng là vecto chỉ phương (k0)k \ne 0)
  • Nếu n\overrightarrow{n} là 1 vecto pháp tuyến thì knk\overrightarrow{n} cũng là vecto pháp tuyến (k0)k \ne 0)

VD1: Cho đường thẳng Δ\Delta có vecto pháp tuyến là: n=(2;1)\overrightarrow{n} = (2;1). Tìm 1 vecto chỉ phương:
Lời giải: u=(1;2)\overrightarrow{u} = (1;-2)

2) Phương trình tham số của đường thẳng:

Trong mp (Oxy)(Oxy), cho đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm Mo(xo;yo)M_o(x_o;y_o) và nhận u=(u1;u2)\overrightarrow{u} =(u_1;u_2) làm vecto chỉ phương. Khi đó phương trình tham số là: {x=xo+tu1y=yo+tu2\begin{cases} x = x_o+tu_1\\ y = y_o + tu_2\end{cases} với (u12+u22>0;tR(u_1^2 + u_2^2 > 0; t \in \R)

VD2: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(2;7)A(2;7) và nhận u=(1;2)\overrightarrow{u} = (1;-2) làm vecto chỉ phương

Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng Δ\Delta là: {x=2+ty=72t\begin{cases} x = 2+t\\ y = 7-2t\end{cases}

VD3: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(2;7)A(2;7) và nhận u=(1;2)\overrightarrow{u} = (1;-2) làm vecto pháp tuyến

Lời giải:
Một vecto chỉ phương là: u=(2;1)\overrightarrow{u} = (2;1)
Phương trình tham số của đường thẳng Δ\Delta là: {x=2+2ty=7+t\begin{cases} x = 2+2t\\ y = 7 + t\end{cases}

3) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Trong mặt phẳng OxyOxy , mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax+by+c=0ax + by + c = 0a;ba;b không đồng thời bằng 00
n=(a;b)\overrightarrow{n}= (a;b) gọi là vecto pháp tuyến


VD4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(2;7)A(2;7) và nhận u=(1;2)\overrightarrow{u} = (1;-2) làm vecto chỉ phương

Lời giải:
Một vecto pháp tuyến là: n=(2;1)\overrightarrow{n} = (2;1)
Phương trình tổng quát là: 2(x2)+(y7)=0    2x+y11=02(x -2) + (y-7) = 0 \iff 2x + y -11 = 0

VD5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;1)A(1;1) ; B(2;3)B(2;3)

Lời giải:
AB=(1;2)\overrightarrow{AB} = (1;2)
Suy ra: n=(2;1)\overrightarrow{n} = (2;-1)

Phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A;BA;B là: 2(x1)1(y1)=0    2xy1=02(x -1) - 1(y - 1) = 0 \iff 2x - y - 1 = 0

Nhận xét:
  • Phương trình đường thẳng Δ\Delta đi qua 2 điểm A(xA;yA);B(xB;yB)A(x_A; y_A); B(x_B;y_B) có dạng: xxAxBxA=yyAyByA\dfrac{x - x_A}{x_B - x_A} = \dfrac{y - y_A}{y_B - y_A}
  • Nếu đường thẳng Δ\Delta cắt trục OxOxOyOy tại A(a;0)A(a;0)B(0;b) (a;b0)B(0;b) \ (a;b \ne 0) thì phương trình Δ\Delta có dạng: xa+yb=1\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 ( Gọi là phương trình đoạn chắn)

4) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng:

Đồ thị hàm số bậc nhất y=kx+yoy =kx + y_o là 1 đường thẳng dd đi qua điểm M(0;yo)M(0;y_o) và có hệ số góc kk
Đồ thị hàm số bậc nhất y=kx+yoy = kx + y_o là 1 đường thẳng có vecto pháp tuyến n=(k;1)\overrightarrow{n} = (k;-1) và có phương trình tổng quát là: kxy+yo=0kx - y + y_o = 0. Đường thẳng này không vuông góc với OxOxOyOy


VD6: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị các hàm số bậc nhất sau:

a) d1:y=2x+3d_1: y = 2x + 3
b) d2:y=12.x+5d_2: y= \dfrac{-1}{2}.x + 5

Lời giải:
a) Ta có: y=2x+3    2xy+3=0y = 2x + 3 \iff 2x - y + 3 = 0
Vậy phương trình tổng quát của d1d_1 là: 2xy+3=02x - y + 3 = 0

b) Ta có: y=12.x+5    x+2y10=0y = \dfrac{-1}{2}.x + 5 \iff x + 2y - 10 = 0
Vậy phương trình tổng quát của d2d_2 là: x+2y10=0x +2y - 10 = 0

5) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho 2 đường thẳng: Δ1:a1x+b1y+c1=0(a12+b12>0)\Delta _1: a_1x + b_1y + c_1= 0 (a_1^2 + b_1^2 > 0) có vecto pháp tuyến n1\overrightarrow{n_1} và đường thẳng: Δ2:a2x+b2y+c2=0(a22+b22>0)\Delta _2: a_2x + b_2y + c_2= 0 (a_2^2 + b_2^2 > 0) có vecto pháp tuyến n2\overrightarrow{n_2}. Ta xét vị trí tương đối như sau:

Nếu n1\overrightarrow{n_1}n2\overrightarrow{n_2} cùng phương thì Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 song song với nhau. Lấy 1 điểm PP tùy ý trên Δ1\Delta _1

  • Nếu PΔ2P \in \Delta _2 thì Δ1=Δ2\Delta _1 = \Delta _2
  • Nếu PΔ2P \notin \Delta _2 thì Δ1//Δ2\Delta _1 // \Delta _2
Nếu n1\overrightarrow{n_1}n2\overrightarrow{n_2} không cùng phương thì Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 cắt nhau tại 1 điểm M(xo;yo)M(x_o;y_o) với (xo;yo)(x_o;y_o) là nghiệm của hệ phương trình: {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1= 0 \\ a_2x + b_2y + c_2= 0 \end{cases}


VD7: Xét vị trí tương đối của Δ1:2x+y2=0\Delta _1 : 2x + y - 2 = 0Δ2:x2=0\Delta _2: x - 2 = 0


Lời giải:
n1=(2;1);n2=(1;0)\overrightarrow{n_1} = (2;1) ; \overrightarrow{n_2} = (1;0)
Ta có: a1b2a2b1=10a_1b_2 - a_2b_1 = -1 \ne 0. Nên n1=(2;1);n2=(1;0)\overrightarrow{n_1} = (2;1) ; \overrightarrow{n_2} = (1;0) không cùng phương. Vậy Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 cắt nhau
Tọa độ giao điểm là: {2x+y2=0x2=0\begin{cases} 2x + y - 2 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{cases}

Giải hệ thu được tọa độ giao điểm là: M(2;2)M(2;-2)
 
Last edited:

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (2)
6) Góc giữa 2 đường thẳng
Khái niệm góc giữa 2 đường thẳng: Hai đường thẳng Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 cắt nhau tạo thành 4 góc:

  • Nếu Δ1\Delta _1 không vuông góc với Δ2\Delta _2 thì góc nhọn trong 4 góc đó gọi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2
  • Nếu Δ1Δ2\Delta _1 \perp \Delta _2 thì ta nói góc giữa Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 là 90^o$
Quy ước:
  • Nếu Δ1//Δ2\Delta _1 // \Delta _2 hoặc trùng nhau thì góc giữa Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 là : 0o0^o
  • Góc giữa 2 đường thẳng Δ1\Delta _1Δ2\Delta _2 được kí hiệu là: (Δ1,Δ2)^\widehat{(\Delta _1,\Delta _2)} hoặc (Δ1;Δ2)(\Delta _1;\Delta _2)
VD1: Cho hình vuông ABCDABCD. Tính các góc: (AB;AC);(AB;AD);(AD;BC)(AB;AC) ; (AB;AD); (AD;BC)

Lời giải:

Ta có: BAC^=45o\widehat{BAC} =45^o. Suy ra: (AB;AC)=45o(AB;AC) = 45^o
ABAD(AB;AD)=90oAB \perp AD \to (AB;AD) = 90^o
AD//BC(AD;BC)=0oAD //BC \to (AD;BC) = 0^o

Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng:

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho 2 đường thẳng: Δ1:a1x+b1y+c1=0(a12+b12>0)\Delta _1: a_1x + b_1y + c_1= 0 (a_1^2 + b_1^2 > 0) có vecto pháp tuyến n1\overrightarrow{n_1} và đường thẳng: Δ2:a2x+b2y+c2=0(a22+b22>0)\Delta _2: a_2x + b_2y + c_2= 0 (a_2^2 + b_2^2 > 0) có vecto pháp tuyến n2\overrightarrow{n_2}.

Khi đó, công thức tính góc là: cos(Δ1;Δ2)=a1a2+b1b2a12+a22.a22+b22\cos (\Delta _1; \Delta _2) = \dfrac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}


Chú ý:
  • (Δ1;Δ2)=90o    a1a2+b1b2=0(\Delta _1; \Delta _2) = 90^o \iff a_1a_2 + b_1b_2 = 0
VD2: Tìm số đo của góc giữa 2 đường thẳng: d1:xy=0;d2:x2y=0d_1: x - y = 0 ; d_2: x - 2y = 0

Ta có: cos(d1;d2)=1.1+(1)(2)12+(1)2.12+(2)2=310\cos (d_1; d_2)= \dfrac{|1.1+ (-1)(-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}.\sqrt{1^2 + (-2)^2}}= \dfrac{3}{\sqrt{10}}

7) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Trong mp OxyOxy, cho đường thẳng Δ\Delta có phương trình ax+by+c=0 (a2+b2>0)ax + by + c = 0 \ (a^2 + b^2 >0)Mo(xo;yo)M_o(x_o;y_o). Khoảng cách từ điểm MoM_o đến đường thẳng Δ\Delta, kí hiệu d(Mo;Δ)d(M_o;\Delta) được tính bởi công thức: d(Mo;Δ)=ao+byo+ca2+b2d(M_o;\Delta) = \dfrac{|a_o + by_o + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

VD3: Tính khoảng cách từ O(0;0)O(0;0) đến đường thẳng Δ:2x+y+3=0\Delta: 2x + y + 3 = 0

Lời giải:
d(O;Δ)=322+12=35d(O;\Delta) = \dfrac{|3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}

VD4: Tính khoảng cách từ M(1;2)M(1;2) đến Δ:3x4y+12=0\Delta: 3x - 4y +12 = 0

Lời giải:
d(M;Δ)=1.34.2+1232+(4)2=75d(M;\Delta) = \dfrac{|1.3 - 4.2 + 12 |}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{7}{5}

VD5: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng: d1:4x3y+2=0d_1: 4x - 3y +2 = 0d2:4x3y+12=0d_2: 4x - 3y + 12= 0

Lời giải
: d1//d2d_1 // d_2

Gọi M(1;2)M(1;2) thuộc d1d_1
Ta có: d(d1;d2)=d(M;d2)=4.13.2+1242+(3)2=105=2d(d_1;d_2) = d(M;d_2) = \dfrac{|4.1 - 3.2 + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \dfrac{10}{5} = 2

VD6: Trong mp OxyOxy, cho điểm S(x;y)S(x;y) di động trên đường thẳng d:12x5y+16=0d: 12x - 5y + 16 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5;10)M(5;10) đến SS

Lời giải: SMmin=d(M;d)=12.55.10+16122+(5)2=2613=2SM_{min} = d(M;d) = \dfrac{|12.5 - 5.10 + 16|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \dfrac{26}{13} = 2
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
1. Phương trình đường tròn
  • Phương trình: (xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b)I(a;b) bán kính RR
Nhận xét: Ta có: (xa)2+(yb)2=R2    x2+y22ax2by+(a2+b2R2)=0(x - a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \iff x^2 + y^2 - 2ax - 2by+ (a^2 + b^2 - R^2) = 0
Vậy phương trình đường tròn được viết dưới dạng: x2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 trong đó: x=a2+b2R2x = a^2 + b^2 - R^2.
Khi đó: R=a2+b2c (a2+b2c>0)R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} \ (a^2 + b^2 - c > 0)


VD1: Viết phương trình đường tròn (C)(C) trong các trường hợp sau:

a) (C)(C) có tâm O(0;0)O(0;0), bán kính RR
b) (C)(C) có tâm I(1;1)I(1;1) và bán kính R=2R =2

c) (C)(C) đi qua 3 điểm A(3;6);B(2;3);C(6;5)A(3;6); B(2;3); C(6;5)

Lời giải:

a) x2+y2=R2x^2 + y^2 =R^2
b) (x1)2+(y1)2=4(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4

c) Gọi PT đường tròn tổng quát: (xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y-b)^2 = R^2. Đặt R2=cR^2 = c

Do 3 điểm A;B;CA; B;C đều thuộc đường tròn nên ta có hệ PT: {(3a)2+(6b)2=c(2a)2+(3b)2=c(6a)2+(5b)2=c\begin{cases} (3 - a)^2 + (6 -b)^2 = c \\ (2 - a)^2 + (3 -b)^2 = c \\ (6 - a)^2 + (5 -b)^2 = c \end{cases}

Giải hệ PT 3 ẩn ta có: a=4;b=4;c=5a = 4 ; b = 4; c = 5

VD2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)(C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) (x2)2+(y1)2=9(x - 2)^2 + (y -1)^2 = 9
b) (x+2)2+(y+1)2=4(x +2)^2 + (y + 1)^2 = 4

c) x2+(y+6)2=25x^2 + (y +6)^2 = 25

Lời giải:

a) I(2;1);R=3I(2;1) ; R = 3
b) I(2;1);R=2I(-2;-1); R =2
c) I(0;6);R=5I(0;-6); R= 5

VD3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn:
a) x2+y24x2y4=0x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0
b) x2+y22x4y+9=0x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0


Lời giải:
a) x2+y24x2y4=0x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0
Có: a=2;b=1;c=4a = 2; b = 1; c = -4. Khi đó: a2+b2c=9>0a^2 + b^2 - c = 9 > 0.
Vậy đây là phương trình đường tròn

b) x2+y22x4y+9=0x^2 + y^2 - 2x - 4y + 9 = 0
Ta có: a=1;b=2;c=9a = 1; b = 2; c = 9. Khi đó: a2+b2c=4<0a^2 + b^2 - c = -4 < 0
Vậy đây không là phương trình đường tròn

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
  • Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b)I(a;b) tại điểm Mo(xo;yo)M_o(x_o;y_o) nằm trên đường tròn là: (axo)(xxo)+(byo)(yyo)=0(a - x_o)(x - x_o) + (b - y_o)(y - y_o) = 0
VD4: Viết phương trình tiếp tuyến dd của đường tròn (C):x2+y2=5(C): x^2 + y^2 = 5 tại điểm M(2;1)M(2;1)

Lời giải:
12+22=5MC1^2 + 2^2 = 5 \to M \in C
Phương trình tiếp tuyến là: (01)(x1)+(02)(y2)=0    x+2y5=0(0-1)(x -1) + (0 -2)(y -2) = 0 \iff x + 2y - 5 = 0


VD5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x2+y22x4y20=0(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 tại điểm M(4;6)M(4;6)

Lời giải:

Ta có: 42+622.44.620=04^2 + 6^2 - 2.4 - 4.6 - 20 = 0. Suy ra: M(C)M \in (C)
(C)(C) có tâm I(1;2)I(1;2); Bán kính R=5R = 5
Phương trình tiếp tuyến là: (14)(x4)+(26)(y6)=0    3(x4)4(y6)=0    3x+4y36=0(1-4)(x -4) + (2 -6)(y -6) = 0 \iff -3(x-4) - 4(y-6) = 0 \iff 3x + 4y -36 =0
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
BT SGK bài 3

1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x2+y26x8y+21=0x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0;
b) x2+y22x+4y+2=0x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2 = 0;
c) x2+y23x+2y+7=0x^2 + y^2 - 3x + 2y + 7 = 0;

d) 2x2+2y2+x+y1=0.2x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng x2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 với a=3,b=4,c=21.a = 3, b = 4, c = 21.

Ta có: a2+b2c=32+4221=4>0a^2 + b^2 - c = 3^2 + 4^2 - 21 = 4 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(3;4)I(3; 4) và bán kính R2.R 2.

b) Phương trình đã cho có dạng x2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 với a=1,b=2,c=2.a = 1, b = - 2, c = 2.

Ta có: a2+b2c=12+(2)22=3>0.a^2 + b^2 - c = 1^2 + (-2)^2 - 2 = 3 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(1;2)I(1; -2) và bán kính R=3R = \sqrt{3}

c) Phương trình đã cho có dạng x2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 với a=32,b=1,c=7.a = \dfrac{3}{2}, b = -1, c = 7.

Ta có: a2+b2c=(32)2+(1)27=154<0.a^2 + b^2 - c = \left (\dfrac{3}{2} \right)^2 + (-1)^2 – 7 = \dfrac{-15}{4}< 0.

Vậy ...

d) 2x2+2y2+x+y1=02x^2 + 2y^2 + x + y - 1 = 0     x2+y2+12x+12y12=0\iff x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}y - \dfrac{1}{2} = 0

Phương trình đã cho có dạng x2+y22ax2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 với a=14,b=14,c=12a = \dfrac{-1}{4}, b = \dfrac{-1}{4}, c = \dfrac{-1}{2}.

Ta có: a2+b2c=58>0a^2 + b^2 - c = \dfrac{5}{8} > 0

Vậy ...

2) Lập phương trình đường tròn (C)(C) trong các trường hợp sau:
a) (C)(C) có tâm I(1;5)I(1; 5) có bán kính r=4;r = 4;
b) (C)(C) có đường kính MNMN với M(3;1)M(3; -1)N(9;3);N(9; 3);
c) (C)(C) có tâm I(2;1)I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x12y+11=0;5x - 12y + 11 = 0;

d) (C)(C) có tâm A(1;2)A(1; -2) và đi qua điểm B(4;5).B(4; -5).

Lời giải:

a) (x1)2+(y5)2=16(x-1)^2 + (y-5)^2 = 16

b) R=MN2=62+422=522R = \dfrac{MN}{2} = \dfrac{\sqrt{6^2 + 4^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{52}}{2}
PT đường tròn là: (x6)2+(y1)2=13(x - 6)^2 + (y-1)^2 = 13

c) R=d(I;d)=5.212.1+1152+(12)2=913R = d(I;d) = \dfrac{|5.2 - 12.1 +11|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \dfrac{9}{13}
PT đường tròn là: (x2)2+(y1)2=(913)2(x - 2)^2 + (y-1)^2 = \left (\dfrac{9}{13} \right)^2

d) R=AB=32+(3)2=32R = AB = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}
PT đường tròn là: (x1)2+(y+2)2=18(x - 1)^2 + (y+2)^2 = 18

3. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:
a) M(2;5),N(1;2),P(5;4);M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);
b) A(0;6),B(7;7),C(8;0).A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0).

Giải hệ PT tương tự VD1 c)

4. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm A(4;2).A(4; 2).

Lời giải:
Gọi đường tròn cần tìm là (C)(C) có tâm là I(a;b)I(a; b) và bán kính R.R.

Vì đường tròn (C)(C) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,OyOx, Oy và đi qua điểm A(4;2)A(4; 2) nên a=ba = bR=a.R = a.
Khi đó phương trình đường tròn (C) là: (xa)2+(ya)2=a2(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2

Ta lại có đường tròn (C) đi qua điểm A(4;2)A(4; 2) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn (C) ta được: (4a)2+(2a)2=a2(4 - a)^2 + (2 - a)^2 = a^2

Giải PT tìm được: a=2a = 2 hoặc a=10a = 10
Với a=10a = 10, phương trình đường tròn cần tìm là: (x10)2+(y10)2=100(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100

Với a=2a = 2, phương trình đường tròn cần tìm là: (x2)2+(y2)2=4(x -2 )^2 + (y - 2)^2 = 4

5. Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y22x4y20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0.
a) Chứng tỏ rằng điểm M(4;6)M(4; 6) thuộc đường tròn (C).(C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) tại điểm M(4;6).M(4; 6).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) song song với đường thẳng 4x+3y+2022=0.4x + 3y + 2022 = 0.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm MM vào PT, thỏa mãn. Suy ra: đpcm
b) Xét phương trình đường tròn (C): x2+y22x4y20=0    (x1)2+(y2)2=52x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 \iff (x -1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2

Suy ra: Đường tròn đã cho là đường tròn (C) có tâm I(1;2)I(1; 2)R=5.R = 5.
Phương trình tiếp tuyến nhận IM=(3;4)\overrightarrow{IM} = (3;4) là VTPT: 3(x4)+4(y6)=0    3x+4y36=03(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x + 4y -36 = 0

6) Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2 m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.
b) Một chiếc xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Lời giải:

a) Cổng hình bán nguyệt nghĩa là một nửa đường tròn:
Tâm của đường tròn là gốc O(0;0).O(0; 0).

Bán kính của đường tròn là R=4,2.R = 4,2.

Khi đó phương trình đường tròn (phương trình mô phỏng cổng với y0y \ge 0) là: x2+y2=17.76x^2 + y^2 = 17.76



b) Gọi điểm cao nhất của chiếc xe tải là A, tọa độ điểm A(2,2;2,6)A(2,2; 2,6). Để biết được xe tải đi đúng làn đường quy định mà có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không nghĩa là điểm A phải nằm trong đường tròn hay nói cách khác là khoảng cách từ A đến tâm của đường tròn nhỏ hơn bán kính.

Tính được: OA=2,22+2,62<4,2OA = \sqrt{2,2^2 + 2,6^2} < 4,2
Suy ra: Điểm A nằm trong đường tròn đã cho.
Vậy một chiếc xe tải rộng 2,2m2,2m và cao 2,6m2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.
 
Top Bottom