Toán 10 [SGK Mới] Bài 12: Số gần đúng và sai số

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ​

1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là [imath]\bar a[/imath] mà chỉ tìm được giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là [imath]a[/imath]

Ví dụ: Gọi $d$ là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 1. Trong hai số $\sqrt 2$ và $1,41$ số nào là số đúng, số nào là số gần đúng của $d$

Giải:
Hình vuông có cạnh bằng 1 có đường chéo là [imath]d = \sqrt 2[/imath]. Vậy [imath]\sqrt 2[/imath] là số đúng, [imath]1,41[/imath] là số gần đúng của [imath]d[/imath]

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a. Sai số tuyệt đối
Giá trị [imath]| a- \bar a|[/imath] phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng [imath]\bar a[/imath] và số đúng [imath]a[/imath], được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng [imath]a[/imath], kí hiệu là [imath]\Delta_a[/imath] , tức là: [imath]\Delta_a = | a- \bar a|[/imath]
Chú ý:
- Trong thực tế, nhiều khi ta không biết [imath]\bar a[/imath] nên cũng không biết [imath]\Delta_a[/imath]. Tuy nhiên ta có thể đanh giá được giá trị [imath]\Delta_a[/imath] không vượt quá một số dương [imath]d[/imath] nào đó
- Nếu [imath]\Delta_a \le d[/imath] thì [imath]a - d \le \bar a \le a+d[/imath], khi đó ta viết [imath]\bar a = a\pm d[/imath] và hiểu là số đúng [imath]\bar a[/imath] nằm trong đoạn [imath][a- d; a+ d][/imath] . Do [imath]d[/imath] càng nhỏ thì [imath]a[/imath] càng gần [imath]\bar a[/imath]nên [imath]d[/imath] được gọi là độ chính xác của số gần đúng

Ví dụ: Một công ty sử dụng dây chuyền $A$ để đóng bao gạo với số lượng mong muốn là 5 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2$ kg. Gọi $\bar a$ là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyền $A$ đóng gói
a. Xác định số đúng, số gần đúng và độ chính xác
b. Giá trị của $\bar a$ nằm trong đoạn nào?

Giải:
a. Khối lượng thực cảu bao gạo [imath]\bar a[/imath] là số đúng. Tuy không biết [imath]\bar a[/imath] nhưng khối lượng bao gạo là 5 kg nên 5 là số gần đúng cho [imath]\bar a[/imath]. Độ chính xác [imath]d = 0,2[/imath] kg
b. [imath]\bar a = [5 - 0,2; 5 + 0,2] = [4,8; 5,2][/imath]

b. Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng [imath]a[/imath] kí hiệu là [imath]\delta_a[/imath]. Có: [imath]\delta_a = \dfrac{\Delta_a}{|a|}[/imath]

Ví dụ: Trong một cuộc điều tra dân số người ta viết dân số của một tỉnh là: 3 574 625 người $\pm$ 50 000 người. Hãy đánh giá sai số tương đối của số gần đúng này

Giải:
Ta có: [imath]a = 3 574 625[/imath] và [imath]d = 50 000[/imath] nên sai số tương đối là: [imath]\delta_a \le \dfrac{d}{|a|} \approx 1,4 %[/imath]

3. Quy tròn số gần đúng
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần đúng của số ban đầu
Chú ý:
+ Đối với chữ số hàng làm tròn:
- Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5
- Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn hoặc bằng 5
+ Đối với chữ số sau hàng làm tròn:
- Bỏ đi nếu ở phần thập phân
- Thay bởi các chữ số không nếu ở phần số nguyên

Ví dụ:
- Số quy tròn đến hàng nghìn của [imath]x = 2841675[/imath] là [imath]x \approx 2842000[/imath]
- Số quy tròn đến hàng chục của [imath]y = 432413[/imath] là [imath]y \approx 432410[/imath]
- Số quy tròn đến hàng phần trăm của [imath]z=12,4253[/imath] là [imath]z \approx 12,43[/imath]

 

[Timeless time]

GIẢI BÀI TẬP PHẦN LUYỆN TẬP​

HĐ1: Ngày 8 – 12 – 2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86m. Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần với số được công bố ở trên?

Giải: Trong các số đã cho ở tình huống mở đầu, ta thấy số gần với số được công bố là: 8 848,13 m.

HĐ2: Trang và Hảo thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.

Giải:
- Số đo thể tích trên ống thứ nhất là: [imath]13\, \, cm^3[/imath];
- Số đo thể tích trên ống thứ hai là: [imath]13,1\, \, cm^3[/imath].

Luyện tập 1: Gọi P là chu vi của đường tròn bán kính 1cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của P.

Giải:
Chu vi đường tròn bán kính 1cm là: [imath]P = 2\pi.1 \approx 6,283[/imath] (cm).
[imath]\implies[/imath] Giá trị gần đúng của P là 6,283.

HĐ3: Trong HĐ2, Hòa dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu ¯aa¯ cm3 là số đo thể tích của nước.
Quan sát hình vẽ để so sánh $|13 - \bar a|$ và $|13,1 - \bar a|$ rồi cho biết trong hai số đo thể tích 13 $cm^3$ và 13,1 $cm^3$, số đo nào gắn với thể tích của cốc nước hơn.

Giải:
Dựa vào hình vẽ, ta có: [imath]|13 - \bar a| > |13,1 - \bar a|[/imath]
Do đó trong hai số đo thể tích 13cm3 và 13,1 cm3, số đo 13,1 gắn với thể tích của cốc nước hơn.

Luyện tập 2: Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là $5 \pm 0,3 µm$. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Giải:
Gọi [imath]\bar a[/imath]à đường kính thực của nhân tế bào, [imath]\bar a[/imath] là số gần đúng
Có: 5 là số gần đúng cho [imath]\bar a[/imath]. Độ chính xác là [imath]0,3µm[/imath]
Khi đó, [imath]\bar a= [5 – 0,3; 5 + 0,3]= [4,7;5,3][/imath].

HĐ4: Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng chính xác là 20 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là: $20 \pm 0,5$ (kg)
Khằng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?

Giải:
Công ty sử dụng dây chuyền A với sai số tuyệt đối là 0,2 kg.
Do đó khối lượng thực [imath]\bar a[/imath] của một bao gạo do dây chuyền A đóng gói nằm trong khoảng [imath][5 – 0,2; 5 + 0,2] = [4,8; 5,2][/imath]
Công ty sử dụng dây chuyền B với sai số tuyệt đối là 0,5 kg.
Do đó khối lượng thực [imath]\bar a[/imath] của một bao gạo do dây chuyền B đóng gói nằm trong khoảng [imath][20 – 0,5; 20 + 0,5] = [19,5; 20,5][/imath].
Suy ra chưa đủ khẳng định để kết luận dây chuyền nào tốt hơn nếu chỉ dựa vào sai số tuyệt đối.

Luyện tập 3 : Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn.

Giải:
- Đối với dây chuyền A, ta có: [imath]a = 5[/imath] và [imath]d = 0,2[/imath]
Khi đó sai số tương đối của dây chuyền A là: [imath]\delta_1 \le \dfrac{d}{|a|} = \dfrac{0,2}5 = 4\%[/imath]
- Đối với dây chuyền B, ta có: a = 20 và d = 0,5
Khi đó sai số tương đối của dây chuyền B là: [imath]\delta_2 \le \dfrac{0,5}{20} = 2,5\%[/imath]
Vì [imath]2,5 < 4[/imath] nên chất lượng của dây chuyền B tốt hơn.

Luyện tập 4: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:
a. $11 251 900 \pm 300$;
b. $18,2857 \pm 0,01$.

Giải:
a. 11 252 000.
b. 18,3.

Vận dụng: Các nhà Vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả $13,807 ± 0,026$ và $13,799 ± 0,021$. Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Giải:
Đối với phương pháp 1, ta có: [imath]a = 13,807[/imath] và [imath]d = 0,026[/imath]
Khi đó sai số tương đối của phương pháp 1 là: [imath]\delta_1 = \dfrac{0,026}{|13,807|} = 0,19\%[/imath]
Đối với phương pháp 2, ta có: [imath]a = 13,799[/imath] và [imath]d = 0,021[/imath]
Khi đó sai số tương đối của phương pháp 2 là: [imath]\delta_2 = \dfrac{0,021}{|13,799|} = 0,15\%[/imath]
Vì [imath]0,15 < 0,19[/imath] nên phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.
Vậy phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.

 

[Timeless time]

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA​

Bài 5.1: Trong các số sau, những số nào sau đây là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.
b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Giải:
a) Đây là số đúng.
b) Đây là số gần đúng.
c) Trái Đất quay một vòng quanh mặt trời mất 365, 2564 ngày nên đây là số gần đúng.

Bài 5.2: Giải thích kết quả: “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235 ± 5m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Giải:
Giải thích kết quả đo:
Độ cao gần đúng là [imath]a = 1 235 \ m[/imath] với độ chính xác là [imath]d = 5[/imath]. Độ cao của một ngọn núi nằm trong khoảng [imath][1 235 – 5; 1 235 + 5] = [1 230; 1 240][/imath].
Làm tròn số gần đúng [imath]a = 1 235[/imath]
Vì độ chính xác đến hàng đơn vị [imath](d = 5)[/imath] nên ta làm tròn a đến hàng chục theo quy tắc làm tròn. Số quy tròn của [imath]a[/imath] là [imath]1 240[/imath].

Bài 5.3: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho [imath]\sqrt[3]{7}[/imath] với độ chính xác [imath]0,0005[/imath].

Giải:
Ta có: [imath]\sqrt[3]{7} \approx 1,9129311[/imath]
Vì độ chính xác đến hàng phần chục nghìn d = 0,0005 nên ta làm tròn số gần đúng của [imath]\sqrt[3]{7}[/imath] đến hàng phần nghìn.
Số quy tròn là: [imath]1,913[/imath]

 

[Timeless time]

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA​

Bài 5.1: Trong các số sau, những số nào sau đây là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.
b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Giải:
a) Đây là số đúng.
b) Đây là số gần đúng.
c) Trái Đất quay một vòng quanh mặt trời mất 365, 2564 ngày nên đây là số gần đúng.

Bài 5.2: Giải thích kết quả: “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là 1235 ± 5m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Giải:
Giải thích kết quả đo:
Độ cao gần đúng là [imath]a = 1 235 \ m[/imath] với độ chính xác là [imath]d = 5[/imath]. Độ cao của một ngọn núi nằm trong khoảng [imath][1 235 – 5; 1 235 + 5] = [1 230; 1 240][/imath].
Làm tròn số gần đúng [imath]a = 1 235[/imath]
Vì độ chính xác đến hàng đơn vị [imath](d = 5)[/imath] nên ta làm tròn a đến hàng chục theo quy tắc làm tròn. Số quy tròn của [imath]a[/imath] là [imath]1 240[/imath].

Bài 5.3: Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho [imath]\sqrt[3]{7}[/imath] với độ chính xác [imath]0,0005[/imath].

Giải:
Ta có: [imath]\sqrt[3]{7} \approx 1,9129311[/imath]
Vì độ chính xác đến hàng phần chục nghìn d = 0,0005 nên ta làm tròn số gần đúng của [imath]\sqrt[3]{7}[/imath] đến hàng phần nghìn.
Số quy tròn là: [imath]1,913[/imath]

Timeless timeBài 5.4: Các nhà Vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:
[imath]67,31 \pm 0,96;[/imath]
[imath]67,9 ± 0,55;[/imath]
[imath]67,74 ± 0,46;[/imath]
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Giải:
Đối với phương pháp 1, ta có: [imath]a = 67,31[/imath] và [imath]d = 0,96[/imath]
Khi đó sai số tương đối của phương pháp 1 là: [imath]\delta_1 \le \dfrac{d}{|a|} = \dfrac{0,96}{67,31} = 1,43\%[/imath]
Đối với phương pháp 2, ta có: [imath]a = 67,9[/imath] và [imath]d = 0,55[/imath]
Khi đó sai số tương đối của phương pháp 2 là: [imath]\delta_2 \le \dfrac{d}{|a|} = \dfrac{0,55}{|6,79|} = 0,81\%[/imath]
Vì [imath]0,15 < 0,19[/imath] nên phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.
Đối với phương pháp 3, ta có: [imath]a = 67,74[/imath] và [imath]d = 0,46[/imath]
Khi đó sai số tương đối của phương pháp 3 là: [imath]\delta_3 \le \dfrac{d}{|a|} = \dfrac{0,46}{|67,74|} = 0,68\%[/imath]
Vì [imath]0,68 < 0,81 < 1,43[/imath] nên sai số tương đối của phương pháp 1 là nhỏ nhất.
Do đó phương pháp 1 cho kết quả chính xác nhất.

Bài 5.5 : An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An: [imath]S_1 = 2\pi R = 2.3,14.2 = 12,56[/imath].
Kết quả của Bình: [imath]S_2 = 2\pi R = 2.3,1.2 = 12,4[/imath].
Hỏi:
a. Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b. Giá trị nào chính xác hơn?

Giải:
a. Ta có [imath]\pi \approx 3,141592654...[/imath] nên các số [imath]3,14[/imath] hay [imath]3,1[/imath] là các số gần đúng của giá trị [imath]\pi[/imath].
Do đó hai giá trị tính được của An và Bình là các số gần đúng.
Vậy giá trị tính được của An và Bình là các số gần đúng.
b. Sai số tuyệt đối của bạn An là: [imath]|\pi – 3,14|[/imath]
Sai số tuyệt đối của bản Bình là: [imath]|\pi – 3,1|[/imath]
Vì [imath]|\pi – 3,14| < |\pi – 3,1|[/imath] nên giá trị của bạn An chính xác hơn.
Vậy giá trị của bạn An chính xác hơn.

Bài 5.6: Làm tròn số [imath]8 316,4[/imath] đến hàng chục và [imath]9,754[/imath] đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Giải:
Làm tròn số [imath]8 316,4[/imath] đến hàng chục, ta được: [imath]8 320[/imath].
Sai số tuyệt đối của số quy tròn: [imath]|8 316,4 – 8 320| = 3,6[/imath].
Làm tròn số và [imath]9,754[/imath] đến hàng phần trăm, ta được: [imath]9,75[/imath].
Sai số tuyệt đối của số quy tròn: [imath]|9,754 – 9,75| = 0,004[/imath].