Rèn luyện kĩ năng giải phương trình---> làm sao để học Toán

ngaytoanvietnam · 11 Tháng sáu 2008

Rèn luyện kĩ năng giải phương trình---> làm sa

Bài này mình viết trên nhiều forum toán học (xem forum nào tốt hơn

) với hai nick : ngaytoanvietnam và analytic . Các bạn cần trao đổi về toán học có thề liên lạc với mình bằng :
*mail : ngaytoanvietnam@yahoo.com
*nick chat yahoo! : ngaytoanvietnam
*Blog : http://vn.myblog.yahoo.com/ngaytoanvietnam/ ( đang làm )
SƠ LƯỢC VỀ SỰ PHÂN CHIA NGÀNH TRONG TOÁN HỌC
Toán học là khoa học có đối tượng là các đại lượng tính được hay đo được . Người ta thường phân chia toán học thuần thúy chuyên nghiên cứu các tính chất đại lượng một cách trừu tượng như : số học , đại số , hình học .... và toán học ứng dụng chuyên nghiên cứu những tính chất của một số vật thể hoặc đề tài cụ thể nào đó như : kĩ thuật đo đạc , khoa trắc địa , phép phối cảnh , khoa thiên văn , cơ học thiên thể , lý thuyết đường bay ....
Ở phổ thông chủ yếu là học toán thuần thúy như : số học , đại số , giải tích và hình học . Trong đó vấn đề về số học chủ yếu là thực hiện các phép toán trên các tập số học chỉ với các bạn Chuyên Toán mới được học các tính chất của số học kĩ hơn . Về phần giải tích là các dạng cơ bản chưa trình bày chính xác một số định nghĩa dẫn đến nhiều học sinh chưa hiểu rõ sự phân biệt giữa đại số và giải tích .Còn phần đại số trình bày chặt chẽ hơn .
ĐẠI SỐ LÀ GÌ
Ta đã biết 1+2=2+1 , 2+3=3+2,4+7=7+4 . Ta có thể nhắc lại vô số lần điều khẳng định ấy , vì nó đúng với hai số bất kì cho trước . Chỉ cần viết tổng hai số bất kì vào một bên của dấu bằng , rồi sau đó viết tổng hai số ấy theo thứ tự ngược lại vào bên kia dấu bằng .
Nhưng thay vì viết riêng từng đẳng thức một , ta có thể chỉ phát biểu một lần theo cách sau đây : chọn hai chữ a và b để biểu diễn cho hai số bất kì khác nhau , rồi viết a+b=b+a là đủ . Khi làm điều đó chúng ta đã nhảy qua một bước từ số học sang đại số .
Gọi A , B , C là các góc của tam giác ta có : [tex]A+B+C=360^o[/tex]
Gọi a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông , cứng với cạnh huyền ta có : [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
.........................................................................................................
Sau đây là một công thức không phải bao giờ cũng đúng trong ngôn ngữ đã qui ước : x+2=5 . Công thức trên không đúng khi x biểu diễn cho số 7 . Công thức chỉ đúng khi x biểu diễn cho số 3 . Một công thức thuộc loại như vậy gọi là phương trình . Giải một phương trình là tìm số để cho khẳng định đó là đúng ?
LÀM SAO ĐỂ HỌC TỐT TOÁN ?
Toán học hay hóa học , văn học .... theo mình cũng như một trò chơi mà thôi . Tất nhiên là để chơi tốt đầu tiên mình phải thật sự yêu thích nó . Để chơi tốt trò chơi toán học này trước tiên mình phải chơi nhiều với nó và thấy được cái hay của nó . Mình muốn cùng các bạn rèn luyện toán học qua đó giúp các bạn yêu toán hơn và thấy cái hay của nó . Bắt đầu từ lĩnh vực Đại Số mà trước tiên mình sẽ cùng giải một số phương trình đại số .
Tại sai lại bắt đầu từ các bài giải phương trình ? Theo mình việc giải phương trình mang tính tư duy rất cao ( đặc biệt ở mức cao hơn khi các bạn đi vào việc giải và biện luận cho các phương trình ) tuy nhiên cũng không cần sài quá nhiều các " mẹo vặt " những cách giải khó " lý giải " tại sao phải làm " như vậy ?" .Có những phưong trình dù nhìn rất đơn giản nhưng lại không nghĩ ra cho đến khi nhìn bài giải mới thấy không khó quá . Các bạn tập giải phương trình để khả năng đánh giá mình ngày càng tốt hơn . Niềm vui rất lớn khi giải được bài toán mà nhiều người không giải được mà vui hơn nếu đọc được cách giải khác ngắn gọn hơn ---> hi vọng tình yêu toán của các bạn ngày càng lớn hơn ( do vậy khi mình đưa ra các phương trình thì bạn cứ giải thử theo suy nghĩ của mình đừng trả lời dễ quá hay không làm được thì bỏ qua nhé cố làm không được đợi đáp án hi vọng bài sau sẽ làm tốt hơn mỗi ngày tư duy toán càng đi lên ) .
Mình từ từ ra một số bài giải phương trình mong rằng nếu giải dù là đánh công thức hơi khó các bạn cũng trình bày không quá vắn tắt .
BẮT ĐẦU NHÉ: Mở đầu bằng 4 bài phương trình quen thộc giúp các bạn xem lại về các phương pháp giải phương trình thôi :
Bài 1 : [tex]\sqrt{x^2+1}=|x|+1[/tex]
Bài 2 : [tex]x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=0[/tex]
Bài 3 : [tex]x^2+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}=2x+1[/tex]
Bài 4 : [tex](x+1)^4+(x-1)^2=1[/tex]
TIẾP TỤC NHÉ : Không khó đâu các bạn thữ tiếp nha chũ yếu để các bạn nhớ pp giải pt thôi .
Bài 5 : [tex]x^4+x^3+x^2+x+1=0[/tex]
Bài 6 : [tex]x^4-x+1=0[/tex]
Bài 7 : [tex]x^4-8\sqrt{x}+7=0[/tex]
Bài 8* : [tex]\frac {x+\sqrt{3} }{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3} } }+\frac{x-\sqrt{3} }{\sqrt{x} -\sqrt{x-\sqrt{3} } }=\sqrt{x} [/tex]
Bài 8 khó nhất xuất phát từ bài toán Rút Rọn
[tex]\frac {2+\sqrt{3} }{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3} } }+\frac{2-\sqrt{3} }{\sqrt{2} -\sqrt{2-\sqrt{3} } }=\sqrt{2} [/tex]
Mình nghĩ ra thành bài giải pt trên ---> cũng may bài 8 ra duy nhất nghiệm một nghiệm x=2 thôi .

anhduc1 · 12 Tháng sáu 2008

em làm đc có 2 bài thôi
bài 1: bình phương lên và rút gọn 1 tẹo là đc 2/x/= 0 <=> x= 0
bài 2: nhóm 2 số với nhau đăt thừa số chung đc : x( x+1)( x^4+x^2+1) = 0
ta cm đc x^4 +x^2+1=(x^2+1/2)^2 + 3/4 > 0với mọi x
nên có 2 ngo x=0,x=-1
bài 4 : em đặt x+1=a
x-1=b
==> a^4 +b^2=1
và a-b=2
nên có (b+2)^4+b^2=1 đến đây em ko biết làm nữa =((

anh giúp em với

final_fantasy_vii · 13 Tháng sáu 2008

anhduc1 said:
em làm đc có 2 bài thôi
bài 1: bình phương lên và rút gọn 1 tẹo là đc 2/x/= 0 <=> x= 0
bài 2: nhóm 2 số với nhau đăt thừa số chung đc : x( x+1)( x^4+x^2+1) = 0
ta cm đc x^4 +x^2+1=(x^2+1/2)^2 + 3/4 > 0với mọi x
nên có 2 ngo x=0,x=-1
bài 4 : em đặt x+1=a
x-1=b
==> a^4 +b^2=1
và a-b=2
nên có (b+2)^4+b^2=1 đến đây em ko biết làm nữa =((
anh giúp em với

Bài 4 chỗ đó là phương trình trùng phương rùi anh mà.
Bài 2 em cũng chịu :-S

senorita · 13 Tháng sáu 2008

@ final_fantasy_vii: cậu nói đúng ý anh

Nhưng kia là bài 3 chứ nhỉ

bài 2 có gì đâu

Bài 3 theo ý tớ là chuyển vế phải sang sau đó tách để được hằng đẳng thức Cái mẫu ý cũng tách 3 ra

nghĩ thế nhưng chưa tính cụ thể

cobemuadong_bth_a5 · 13 Tháng sáu 2008

bài 4 tớ ko đồng ý với các bạn ( trùng phương chổ nào :-/ )
bài 3 : seno nói thì đễ ,làm cụ thể xem nào

ngaytoanvietnam · 13 Tháng sáu 2008

Các bạn nói đúng lắm ..................................
Bài 1 và 2 như vậy là ổn còn bài 3 và 4
*Bài 3 khó nhất .........các bạn thử nha
*Bài 4 để ý chút ta thấy hiển nhiên bài 4 VN không cần biến đổi gì đâu ---> Các bạn thử lập luận nha ................
Chúc mọi người làm tốt để còn tiếp tục ......

cobemuadong_bth_a5 · 13 Tháng sáu 2008

bài 3 ko thử nữa đâu
bài 4 :a vn bảo ko cần biến đổi nhưng cho tớ biến đổi cái nha
đặt t=x+1
pt <=> t^4+t^2 -4t +3 =0
<=>(t^2-1:2)^2 +2(t-1)^2 +3:4 =0
(hiển nhiênvô nghiệm )
tớ ko biết post toán thông cảm nha
làm thế có đúng ko ?

@anh ngaytoanvn này ,bọn em có những ý kiến khác nhau vậy mà anh bảo các bạn nói đúng lắm là sao ??? :-/

senorita · 14 Tháng sáu 2008

ô chết tớ nhìn nhầm

Tại nhìn thằng kia bảo thế tớ cũng nhìn mỗi cái mũ

ôi trời ôi

chết mất vì dơ

Thế bài 3 làm thế ko được à ?

Bài 4 Để tớ làm lại nhá

[tex]\red t=x+1[/tex]

PT trở thành: [tex]\red t^4+(t-2)^2=1[/tex]
tương đương:[tex]\red t^4+t^2-4t+3=0[/tex]
tách ra thì vô nghiệm hử

ngaytoanvietnam · 14 Tháng sáu 2008

Bài 4 : Ta sẽ chia trường hợp cho x .
.Nếu x>0 [tex]\Rightarrow x+1>1 \Rightarrow (x+1)^4>1 \Rightarrow VT>1 \Rightarrow [/tex] x>0 ko phải nghiện pt .
.Nếu x<0 [tex]\Rightarrow x-1<-1 \Rightarrow (x-1)^2>1 \Rightarrow VT>1 \Rightarrow [/tex] x<0 ko phải nghiện pt .
.Nếu x=0 thế vào ko phải ngiệm pt.
Vậy pt đã cho VN.
Bài 3 : Là 1 bài tập khi mình học ĐSSC mình cũng ko biết cách nào làm được và phải làm bằng thủ thuật Đối Lập
Xét pt f(x)=g(x)
Mà [tex] \left { f(x)\ge m \\ g(x)\le m[/tex]
Khi đó f(x)=g(x)
[tex]\Leftrightarrow \left { f(x)=m \\ g(x) =m [/tex]

Bài 3: giải pt [tex]x^2+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}} =2x+1[/tex]

ĐK:[tex]|x|>\sqrt{3}[/tex]

pt [tex]\Leftrightarrow 2x^2+\frac{2}{\sqrt{x^2-3}} =4x+2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2-3+\frac{2}{\sqrt{x^2-3}}=3-(x-2)^2 [/tex]

áp dụng bdt cauchy [tex](x^2-3)+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3} }\ge 3 [/tex]

vậy VT [tex]\ge 3[/tex]

mà VP[tex]\le 3[/tex]

vậy pt [tex]\Leftrightarrow \left { VT=3 \\ VP=3 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left { x^2-3=\frac{1}{\sqrt{x^2-3}} \\ (x-2)^2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=2[/tex]

Các bạn làm các bài tiếp theo bài 5,6,7,8 nha .

alph@ · 14 Tháng sáu 2008

ngaytoanvietnam said:
Bài 4 : Ta sẽ chia trường hợp cho x .
.Nếu x>0 [tex]\Rightarrow x+1>1 \Rightarrow (x+1)^4>1 \Rightarrow VT>1 \Rightarrow [/tex] x>0 ko phải nghiện pt .
.Nếu x<0 [tex]\Rightarrow x-1<-1 \Rightarrow (x-1)^2>1 \Rightarrow VT>1 \Rightarrow [/tex] x<0 ko phải nghiện pt .
.Nếu x=0 thế vào ko phải ngiệm pt.
Vậy pt đã cho VN.
Bài 3 : Là 1 bài tập khi mình học ĐSSC mình cũng ko biết cách nào làm được và phải làm bằng thủ thuật Đối Lập
Xét pt f(x)=g(x)
Mà [tex] \left { f(x)\ge m \\ g(x)\le m[/tex]
Khi đó f(x)=g(x)
[tex]\Leftrightarrow \left { f(x)=m \\ g(x) =m [/tex]

Bài 3: giải pt [tex]x^2+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}} =2x+1[/tex]

ĐK:[tex]|x|>\sqrt{3}[/tex]

pt [tex]\Leftrightarrow 2x^2+\frac{2}{\sqrt{x^2-3}} =4x+2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2-3+\frac{2}{\sqrt{x^2-3}}=3-(x-2)^2 [/tex]

áp dụng bdt cauchy [tex](x^2-3)+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3} }\ge 3 [/tex]

vậy VT [tex]\ge 3[/tex]

mà VP[tex]\le 3[/tex]

vậy pt [tex]\Leftrightarrow \left { VT=3 \\ VP=3 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left { x^2-3=\frac{1}{\sqrt{x^2-3}} \\ (x-2)^2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=2[/tex]

Các bạn làm các bài tiếp theo bài 5,6,7,8 nha .

Mình thì không thích bất đẳng thức bởi đơn giản là vì nó xấu tệ!! (học càng cao càng hiểu rõ điều này!!)
Nên mình sẽ giải bằng "Phương pháp dò nghiệm" chắc các bạn biết mà
[tex]x^2+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}=2x+1[/tex]
đặt ĐK
rồi
<=>[tex]x^2-4+\frac{1}{\sqrt{x^2-3}}-1+4-2x=0[/tex]
<=>[tex](x-2)(x+2)+\frac{(1-\sqrt{x^2-3})(1+\sqrt{x^2-3})}{(\sqrt{x^2-3})(1+sqrt{x^2-3})}+2(2-x)=0[/tex]
<=>[tex](x-2)(x+2)+\frac{1-x^2+3}{(\sqrt{x^2-3})(1+sqrt{x^2-3})}+2(2-x)=0[/tex]
<=>[tex](x-2)(x+2)+\frac{4-x^2}{(\sqrt{x^2-3})(1+sqrt{x^2-3})}+2(2-x)=0[/tex]
và thế là x=2 là 1 nghiệm, còn chờ gì nữa mà không chia cho (x-2) chứ
<=>[tex](x+2)-\frac{2+x}{(\sqrt{x^2-3})(1+sqrt{x^2-3})}-2=0[/tex]
<=>[tex]x=\frac{2+x}{(\sqrt{x^2-3})(1+sqrt{x^2-3})}=\frac{2+x}{\sqrt{x^2-3}+x^2-3}[/tex]
<=>[tex]x\sqrt{x^2-3}+x^3-3x=2+x[/tex]
<=>[tex]x\sqrt{x^2-3}-2=-x^3+4x=x(4-x^2)[/tex]
<=>[tex]x\sqrt{x^2-3}-2=x(4-x^2)[/tex]
<=>[tex]\frac{x^2(x^2-3)-4}{x\sqrt{x^2-3}+2}=x(4-x^2)[/tex]
<=>[tex]\frac{(x^2+1)(x^2-4)}{x\sqrt{x^2-3}+2}=x(4-x^2)[/tex]
và thế là tôi lại chia cho [tex]x^2-4[/tex]
Đến đây tự nhiên tôi lại có
<=>[tex](x^2+1)=-x(x\sqrt{x^2-3}+2)=-x^2\sqrt{x^2-3}-2x[/tex]
<=>[tex](x^2+2x+1)+x^2\sqrt{x^2-3}=0[/tex]
và đến đây PT vô nghiệm
thế là tui kết luận rằng x=2 là nghiệm thực duy nhất!

Tư tưởng này khiến cho bài toán trở ngược lại cách của người ra đề!!

theempire · 14 Tháng sáu 2008

akak, mấy bài này xương chết đi đc, để mình giải từ từ
5/ PT <=> x^5 = 1 và x khác 1 (nhân x-1 vào 2 vế)
1 = cos0 + isin 0
Vậy
PT <=> x = cos (k2pi/5) + isin (k2pi/5) (k={1,2,3,4}) (loại k=0)

Để nghĩ 3 bài còn lại đã

ngaytoanvietnam · 14 Tháng sáu 2008

theempire
Bạn ơi mấy bài này giải trên Số Thực !!!!
Mình không nó rõ nhưng ở PT mặc nhiên hiểu tìm nghiệm thực chứ đâu tìm nghiệm phức .

theempire · 15 Tháng sáu 2008

ngaytoanvietnam said:
theempire
Bạn ơi mấy bài này giải trên Số Thực !!!!
Mình không nó rõ nhưng ở PT mặc nhiên hiểu tìm nghiệm thực chứ đâu tìm nghiệm phức .

Sorry nhe, tại làm số phức nhiều quá nên quên, mà từ việc giải PT theo nghiệm phức cũng thấy điều này rùi, để đề xuất cách khác cho
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 =0
<=> (x^4 + x^3 + 1/4x^2) + (1/4x^2 + x + 1) + 1/2x^2=0
<=> (x^2 + 1/2 x)^2 + (1/2x + 1)^2 + 1/2x^2 =0
<=> x^2 + 1/2 x =0
1/2 x + 1=0
x=0
Từ hệ trên rõ thấy PT vô nghiệm

Giải típ 6 đây
Xét f(x) = x^4 - x+1
f'(x) = 4x^3 -1
Ta thấy rằng f(cực tiểu) = x(x^3 - 1) + 1 = (căn 3) 1/4 . (-3/4) + 1
Do -3/4>-1
(căn 3) 1/4 <1
=> f(cực tiểu) >0
Vậy PT đã cho vô nghiệm

Cách làm bài 7 y hệt bài 5 mấy bạn nghĩ típ đi ;

;

final_fantasy_vii · 17 Tháng sáu 2008

Em mới học lớp 10 nên chỉ biết giải = cách này thôi

Bài 8 em chưa nghĩ ra

phanhuuduy90 · 17 Tháng sáu 2008

Bài 8* : [tex]\frac {x+\sqrt{3} }{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3} } }+\frac{x-\sqrt{3} }{\sqrt{x} -\sqrt{x-\sqrt{3} } }=\sqrt{x} [/tex]
Bài 8 khó nhất xuất phát từ bài toán Rút Rọn
[tex]\frac {2+\sqrt{3} }{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3} } }+\frac{2-\sqrt{3} }{\sqrt{2} -\sqrt{2-\sqrt{3} } }=\sqrt{2} [/tex]
bài này cũng mò nghiệm ,,

final_fantasy_vii · 27 Tháng sáu 2008

Bài 8 em nghĩ đến cách lượng giác hóa nhưng làm chẳng ra :-/ #:-S

alph@ · 7 Tháng bảy 2008

final_fantasy_vii said:
ơ thế chuyên đề ko típ tục nữa ạ :-/

Chắc tại các bạn đang ôn thi Đại học ấy mà!
Mà hình như bài 8 vẫn chưa có ai giải nhỉ!?
Oái latex hư rùi: Chắc phải pos ảnh thôi!

Chú ý cái số 3 nhé ! Cái font Euclide này viết số 3 khó coi thật!

alph@ · 18 Tháng bảy 2008

Hẩm hiu quá post một bài thử xem sao
Giải phương trình sau
[tex]x=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...\frac{...}{2+\frac{1}{1+x}}}}}[/tex]
Cùng ý tường đó giải phương trình liên phân số sau:
[tex]x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...\frac{...}{1+\frac{1}{1+x}}}}}[/tex]

final_fantasy_vii · 18 Tháng bảy 2008

Có thể giải bài 8 = phương pháp lượng giác hóa ko ạ :-/

@duongtuan2702: bạn có bài nào post lên đi ^^
lâu lâu chẳng thấy chuyên đề tiếp tục

@alph@: khó quá anh ơi :-S

theempire · 19 Tháng bảy 2008

alph@ said:
Hẩm hiu quá post một bài thử xem sao
Giải phương trình sau
[tex]x=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...\frac{...}{2+\frac{1}{1+x}}}}}[/tex]
Cùng ý tường đó giải phương trình liên phân số sau:
[tex]x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...\frac{...}{1+\frac{1}{1+x}}}}}[/tex]

Cái bài này mình nhớ ko lầm là dùng dãy số để giải nè /

/

, mà làm biếng làm quá à, tại có làm cũng hổng bik post lên sao nhết

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Rèn luyện kĩ năng giải phương trình---> làm sao để học Toán

ngaytoanvietnam

anhduc1

final_fantasy_vii

senorita

cobemuadong_bth_a5

ngaytoanvietnam

cobemuadong_bth_a5

senorita

ngaytoanvietnam

alph@

theempire

ngaytoanvietnam

theempire

final_fantasy_vii

phanhuuduy90

final_fantasy_vii

alph@

alph@

final_fantasy_vii

theempire