Toán 12 Quy tắc L'Hospital

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 25 Tháng hai 2019.

Lượt xem: 298

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cố vấn Toán Cu li diễn đàn Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    3,169
    Điểm thành tích:
    476
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Quy tắc L'Hospital nhằm giúp tìm giới hạn đối với các dạng vô đinh 1 cách nhanh chóng hơn so với cách làm thông thường. Lên đại học trong chương trình toán cao cấp các bạn sẽ được học quy tắc này. Ở cấp 3, chúng ta chưa được áp dụng trong giải tự luận, nhưng với bài giải trắc nghiệm thì hoàn toàn có thể. Tất nhiên bài toán tìm lim trắc nghiệm cũng có thể tính bằng casio rồi chọn đáp án. Nhưng nếu người ra đề cài tham số rồi yêu cầu tìm tham số, hay giá trị lim quá lớn, vượt quá giới hạn tính của máy, thì lúc này ta có thể sử dụng quy tắc này.

    Xét các giới hạn dạng vô định : [tex](\frac{\infty }{\infty };\frac{0}{0};\infty -\infty ;0.\infty.. )[/tex]
    Tất cả các dạng vô định: [tex]\underset{x->c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x->c}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
    Tức là: ta đạo hàm đa thức ở tử, đạo hàm đa thức ở mẫu để cho mất dạng vô định đi, và thay x=c vào tính giới hạn như bình thường. Nếu như đạo hàm 1 lần mà dạng vô định vẫn còn, thì ta đạo hàm tiếp cả tử và mẫu lần nữa, cho đến khi nào mất dạng vô định thì thôi!
    Vậy lưu ý là đạo hàm ở tử và mẫu đều phải tồn tại, nếu không tồn tại thì không thể áp dụng được quy tắc này!


    Sau đây là 1 số ví dụ nhỏ, có ví dụ sẽ làm cả cách tự luận lẫn L'Hospital cho các bạn tin là công thức này đúng
    Ví dụ 1:[tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}[/tex]
    1 ví dụ rất dễ, với các dạng vô định thì cách làm tự luận chung là phân tích nhân tử của tử và mẫu, sau đó rút gọn đi là mất vô định
    [tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}(x+2)=1[/tex]
    Giờ, dùng L'Hospital: [tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x^2+3x+2)'}{(x+1)'}=\underset{x->-1}{lim}\frac{2x+3}{1}=1[/tex]
    Có vẻ như là không nhanh hơn quá nhiều nhỉ, vậy thử ví dụ khác khó hơn:
    Ví dụ 2: [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=?[/tex]
    Cách tự luận:
    Ở đây rõ ràng ở tử ta phải làm xuất hiện nhân tử x-1 để rút gọn cho mẫu. Và cách nghĩ đến là liên hợp.
    Chú ý rằng ta có công thức: [tex](x^a-y^a)=(x-y)(x^{a-1}y+x^{a-2}y^2+....+x.y^{a-1})[/tex]
    Vậy ta liên hợp như sau. Để dễ nhìn ta đặt [tex]\sqrt[5]{2x-1}=a[/tex]
    [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}(\frac{a-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{a^5-1}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2(x-1)}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2}{a^4+a^3+a^2+a+1}=\frac{2}{5}[/tex]
    Trông khá là vất vả, nhưng nếu dùng công thức L'Hospital thì
    [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{\frac{1}{5}(2x-1)^\frac{-4}{5}.2}{1}=\frac{2}{5}[/tex]
    Trông nhẹ hơn rất nhiều nhỉ.
    Với các dạng vô định khác dạng f(x)/g(x) , ví dụ (oo-oo) , thì cách làm chung vẫn là đưa về dạng đa thức f(x)/g(x) rồi phân tích rút gọn(đối với tự luận) hoặc L'Hospital (với trắc nghiệm)
    Ví dụ 3:
    [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})[/tex]
    Đây là 1 bài dạng oo-oo, mình chỉ trình bày các tính theo L'Hospital.
    [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx-(x-1)}{(x-1)lnx}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}[/tex]
    tới đây sau khi L'Hospital 1 lần vẫn còn là dạng vô định, vậy làm tiếp đến khi mất vô định.
    [tex]\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx}{xlnx+x-1}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx}{1+lnx+1}=\frac{1}{2}[/tex]

    Ví dụ cuối cùng, với 1 bài dạng cho tham số
    Cho [tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}[/tex] . Tìm m để C=2

    Lời giải: Rõ ràng khi thay x=1 vào ta thấy rằng đây là dạng 0/0, nên giải theo bằng L'Hospital thì:
    [tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}=\underset{x->1}{lim}\frac{2x-m}{2x}=\frac{2-m}{2}[/tex]
    Vậy để C=2 thì m=-2 . Rất nhanh gọn !
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->