- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Quy tắc L'Hospital nhằm giúp tìm giới hạn đối với các dạng vô đinh 1 cách nhanh chóng hơn so với cách làm thông thường. Lên đại học trong chương trình toán cao cấp các bạn sẽ được học quy tắc này. Ở cấp 3, chúng ta chưa được áp dụng trong giải tự luận, nhưng với bài giải trắc nghiệm thì hoàn toàn có thể. Tất nhiên bài toán tìm lim trắc nghiệm cũng có thể tính bằng casio rồi chọn đáp án. Nhưng nếu người ra đề cài tham số rồi yêu cầu tìm tham số, hay giá trị lim quá lớn, vượt quá giới hạn tính của máy, thì lúc này ta có thể sử dụng quy tắc này.
Xét các giới hạn dạng vô định : [tex](\frac{\infty }{\infty };\frac{0}{0};\infty -\infty ;0.\infty.. )[/tex]
Tất cả các dạng vô định: [tex]\underset{x->c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x->c}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
Tức là: ta đạo hàm đa thức ở tử, đạo hàm đa thức ở mẫu để cho mất dạng vô định đi, và thay x=c vào tính giới hạn như bình thường. Nếu như đạo hàm 1 lần mà dạng vô định vẫn còn, thì ta đạo hàm tiếp cả tử và mẫu lần nữa, cho đến khi nào mất dạng vô định thì thôi!
Vậy lưu ý là đạo hàm ở tử và mẫu đều phải tồn tại, nếu không tồn tại thì không thể áp dụng được quy tắc này!
Sau đây là 1 số ví dụ nhỏ, có ví dụ sẽ làm cả cách tự luận lẫn L'Hospital cho các bạn tin là công thức này đúng
Ví dụ 1:[tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}[/tex]
1 ví dụ rất dễ, với các dạng vô định thì cách làm tự luận chung là phân tích nhân tử của tử và mẫu, sau đó rút gọn đi là mất vô định
[tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}(x+2)=1[/tex]
Giờ, dùng L'Hospital: [tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x^2+3x+2)'}{(x+1)'}=\underset{x->-1}{lim}\frac{2x+3}{1}=1[/tex]
Có vẻ như là không nhanh hơn quá nhiều nhỉ, vậy thử ví dụ khác khó hơn:
Ví dụ 2: [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=?[/tex]
Cách tự luận:
Ở đây rõ ràng ở tử ta phải làm xuất hiện nhân tử x-1 để rút gọn cho mẫu. Và cách nghĩ đến là liên hợp.
Chú ý rằng ta có công thức: [tex](x^a-y^a)=(x-y)(x^{a-1}y+x^{a-2}y^2+....+x.y^{a-1})[/tex]
Vậy ta liên hợp như sau. Để dễ nhìn ta đặt [tex]\sqrt[5]{2x-1}=a[/tex]
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}(\frac{a-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{a^5-1}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2(x-1)}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2}{a^4+a^3+a^2+a+1}=\frac{2}{5}[/tex]
Trông khá là vất vả, nhưng nếu dùng công thức L'Hospital thì
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{\frac{1}{5}(2x-1)^\frac{-4}{5}.2}{1}=\frac{2}{5}[/tex]
Trông nhẹ hơn rất nhiều nhỉ.
Với các dạng vô định khác dạng f(x)/g(x) , ví dụ (oo-oo) , thì cách làm chung vẫn là đưa về dạng đa thức f(x)/g(x) rồi phân tích rút gọn(đối với tự luận) hoặc L'Hospital (với trắc nghiệm)
Ví dụ 3: [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})[/tex]
Đây là 1 bài dạng oo-oo, mình chỉ trình bày các tính theo L'Hospital.
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx-(x-1)}{(x-1)lnx}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}[/tex]
tới đây sau khi L'Hospital 1 lần vẫn còn là dạng vô định, vậy làm tiếp đến khi mất vô định.
[tex]\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx}{xlnx+x-1}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx}{1+lnx+1}=\frac{1}{2}[/tex]
Ví dụ cuối cùng, với 1 bài dạng cho tham số
Cho [tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}[/tex] . Tìm m để C=2
Lời giải: Rõ ràng khi thay x=1 vào ta thấy rằng đây là dạng 0/0, nên giải theo bằng L'Hospital thì:
[tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}=\underset{x->1}{lim}\frac{2x-m}{2x}=\frac{2-m}{2}[/tex]
Vậy để C=2 thì m=-2 . Rất nhanh gọn !
Xét các giới hạn dạng vô định : [tex](\frac{\infty }{\infty };\frac{0}{0};\infty -\infty ;0.\infty.. )[/tex]
Tất cả các dạng vô định: [tex]\underset{x->c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x->c}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
Tức là: ta đạo hàm đa thức ở tử, đạo hàm đa thức ở mẫu để cho mất dạng vô định đi, và thay x=c vào tính giới hạn như bình thường. Nếu như đạo hàm 1 lần mà dạng vô định vẫn còn, thì ta đạo hàm tiếp cả tử và mẫu lần nữa, cho đến khi nào mất dạng vô định thì thôi!
Vậy lưu ý là đạo hàm ở tử và mẫu đều phải tồn tại, nếu không tồn tại thì không thể áp dụng được quy tắc này!
Sau đây là 1 số ví dụ nhỏ, có ví dụ sẽ làm cả cách tự luận lẫn L'Hospital cho các bạn tin là công thức này đúng
Ví dụ 1:[tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}[/tex]
1 ví dụ rất dễ, với các dạng vô định thì cách làm tự luận chung là phân tích nhân tử của tử và mẫu, sau đó rút gọn đi là mất vô định
[tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}(x+2)=1[/tex]
Giờ, dùng L'Hospital: [tex]\underset{x->-1}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\underset{x->-1}{lim}\frac{(x^2+3x+2)'}{(x+1)'}=\underset{x->-1}{lim}\frac{2x+3}{1}=1[/tex]
Có vẻ như là không nhanh hơn quá nhiều nhỉ, vậy thử ví dụ khác khó hơn:
Ví dụ 2: [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=?[/tex]
Cách tự luận:
Ở đây rõ ràng ở tử ta phải làm xuất hiện nhân tử x-1 để rút gọn cho mẫu. Và cách nghĩ đến là liên hợp.
Chú ý rằng ta có công thức: [tex](x^a-y^a)=(x-y)(x^{a-1}y+x^{a-2}y^2+....+x.y^{a-1})[/tex]
Vậy ta liên hợp như sau. Để dễ nhìn ta đặt [tex]\sqrt[5]{2x-1}=a[/tex]
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}(\frac{a-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{a^5-1}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2(x-1)}{(x-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)}=\underset{x->1}{lim}\frac{2}{a^4+a^3+a^2+a+1}=\frac{2}{5}[/tex]
Trông khá là vất vả, nhưng nếu dùng công thức L'Hospital thì
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{x-1})=\underset{x->1}{lim}\frac{\frac{1}{5}(2x-1)^\frac{-4}{5}.2}{1}=\frac{2}{5}[/tex]
Trông nhẹ hơn rất nhiều nhỉ.
Với các dạng vô định khác dạng f(x)/g(x) , ví dụ (oo-oo) , thì cách làm chung vẫn là đưa về dạng đa thức f(x)/g(x) rồi phân tích rút gọn(đối với tự luận) hoặc L'Hospital (với trắc nghiệm)
Ví dụ 3: [tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})[/tex]
Đây là 1 bài dạng oo-oo, mình chỉ trình bày các tính theo L'Hospital.
[tex]\underset{x->1}{lim}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx})=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx-(x-1)}{(x-1)lnx}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}[/tex]
tới đây sau khi L'Hospital 1 lần vẫn còn là dạng vô định, vậy làm tiếp đến khi mất vô định.
[tex]\underset{x->1}{lim}\frac{lnx}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\underset{x->1}{lim}\frac{xlnx}{xlnx+x-1}\underset{L'}{=}\underset{x->1}{lim}\frac{1+lnx}{1+lnx+1}=\frac{1}{2}[/tex]
Ví dụ cuối cùng, với 1 bài dạng cho tham số
Cho [tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}[/tex] . Tìm m để C=2
Lời giải: Rõ ràng khi thay x=1 vào ta thấy rằng đây là dạng 0/0, nên giải theo bằng L'Hospital thì:
[tex]C=\underset{x->1}{lim}\frac{x^2-mx+m-1}{x^2-1}=\underset{x->1}{lim}\frac{2x-m}{2x}=\frac{2-m}{2}[/tex]
Vậy để C=2 thì m=-2 . Rất nhanh gọn !
