Toán 9 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OP cắt PE tại M. Chứng minh: EM.PF = PE.MF

[laithuygiaovien@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn thuộc cùng một nủa mặt phẳng bờ AB), trên tia Ax lấy điểm P (AP >R). Vẽ tiếp tuyến PE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm ), đường thằng PE cắt AB tại F
a/ chứng minh: 4 điểm P,A,E,O cùng thuộc một đường tròn
b/ Chứng minh: PO//BE
c/Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OP cắt PE tại M. Chứng minh: EM.PF = PE.MF

 

[Ann Lee]

Cho nửa (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn thuộc cùng một nủa mặt phẳng bờ AB), trên tia Ax lấy điểm P (AP >R). Vẽ tiếp tuyến PE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm ), đường thằng PE cắt AB tại F
a/ chứng minh: 4 điểm P,A,E,O cùng thuộc một đường tròn
b/ Chứng minh: PO//BE
c/Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OP cắt PE tại M. Chứng minh: EM.PF = PE.MF

a) Tứ giác [TEX]PAOE[/TEX] có: [tex]\widehat{PAO}+\widehat{PEO}=180^{\circ}[/tex] mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác [TEX]PAOE[/TEX] là tứ giác nội tiếp
Suy ra 4 điểm $P,A,E,O$ cùng thuộc một đường tròn (dpcm)

b) Ta có [TEX]PA=PE[/TEX](tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); [TEX]OA=OE(=R)[/TEX]
[tex]\Rightarrow[/tex] [TEX]OP[/TEX] là đường trung trực của [TEX]AE[/TEX]
[tex]\Rightarrow OP\perp AE[/tex]
Lại có [tex]\widehat{AEB}=90^{\circ}[/tex] (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn)
[tex]\Rightarrow AE\perp BE\Rightarrow OP//BE(dpcm)[/tex]

c) Ta có [tex]\widehat{AOP}=\widehat{POE}[/tex] (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
[tex]\Rightarrow OP[/tex] là tia phân giác của [tex]\widehat{AOE}[/tex]
[tex]\Rightarrow OP[/tex] là tia phân giác ngoài của [tex]\widehat{EOF}[/tex]
Lại có [TEX]OP\perp OM[/TEX]
[tex]\Rightarrow OM[/tex] là tia phân giác trong của [tex]\widehat{EOF}[/tex]
Theo tính chất của đường phân giác ta có:

• [tex]OP[/tex] là tia phân giác ngoài của [tex]\widehat{EOF}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{PE}{PF}=\frac{OE}{OF}[/tex]
  
• [tex] OM[/tex] là tia phân giác trong của [tex]\widehat{EOF}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{ME}{MF}=\frac{OE}{OF}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{PE}{PF}=\frac{ME}{MF}\Rightarrow EM.PF=PE.MF(dpcm)[/tex]

 

[laithuygiaovien@gmail.com]

View attachment 71190
a) Tứ giác [TEX]PAOE[/TEX] có: [tex]\widehat{PAO}+\widehat{PEO}=180^{\circ}[/tex] mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác [TEX]PAOE[/TEX] là tứ giác nội tiếp
Suy ra 4 điểm $P,A,E,O$ cùng thuộc một đường tròn (dpcm)

b) Ta có [TEX]PA=PE[/TEX](tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); [TEX]OA=OE(=R)[/TEX]
[tex]\Rightarrow[/tex] [TEX]OP[/TEX] là đường trung trực của [TEX]AE[/TEX]
[tex]\Rightarrow OP\perp AE[/tex]
Lại có [tex]\widehat{AEB}=90^{\circ}[/tex] (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn)
[tex]\Rightarrow AE\perp BE\Rightarrow OP//BE(dpcm)[/tex]

c) Ta có [tex]\widehat{AOP}=\widehat{POE}[/tex] (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
[tex]\Rightarrow OP[/tex] là tia phân giác của [tex]\widehat{AOE}[/tex]
[tex]\Rightarrow OP[/tex] là tia phân giác ngoài của [tex]\widehat{EOF}[/tex]
Lại có [TEX]OP\perp OM[/TEX]
[tex]\Rightarrow OM[/tex] là tia phân giác trong của [tex]\widehat{EOF}[/tex]
Theo tính chất của đường phân giác ta có:

• [tex]OP[/tex] là tia phân giác ngoài của [tex]\widehat{EOF}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{PE}{PF}=\frac{OE}{OF}[/tex]
  
• [tex] OM[/tex] là tia phân giác trong của [tex]\widehat{EOF}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{ME}{MF}=\frac{OE}{OF}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{PE}{PF}=\frac{ME}{MF}\Rightarrow EM.PF=PE.MF(dpcm)[/tex]

Cho em hỏi là tại sao góc PAO + góc PEO lại bằng 180 với lại có mấy cách để chứng minh các điểm cùng một đường tròn ạ

 

[hdiemht]

Cho em hỏi là tại sao góc PAO + góc PEO lại bằng 180

Đọc kĩ đề đi bạn!
[tex]\widehat{PAO}=90^{\circ};\widehat{PEO}=90^{\circ}[/tex] (Vì $PA;PE$ lần lượt là tiếp tuyến)

với lại có mấy cách để chứng minh các điểm cùng một đường tròn ạ

1. Các cách để chứng minh Tứ giác nội tiếp:

• Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
• Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ
• Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau.
• Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lai dưới hai góc bằng nhau.
• Chứng minh tổng các góc đối bằng nhau
• Chứng minh phản chứng.
• Theo định lý $Ptoleme$: ''Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.''

2. Nếu muốn chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 đường tròn thì ta có thể chứng minh lần lượt $4$ điểm cùng thuộc 1 đường tròn.

 

[Áhkcnjcja]

CÒn cách khác để chứng minh OP// BE k ạ bài góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn bọn em chưa học

 

[mbappe2k5]

CÒn cách khác để chứng minh OP// BE k ạ bài góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn bọn em chưa học

Góc nội tiếp bạn có thể chứng minh được mà. Bạn giở sách Tập 2 sẽ thấy CM chỉ dùng kỳ I. Nói chung là kẻ đường kính thôi.

 

[Dora_Dora]

CÒn cách khác để chứng minh OP// BE k ạ bài góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn bọn em chưa học

đơn giản là OE=OA=OB
--> Tam giác EAB có trung tuyến EO bằng 1/2 cạnh đối diện
--> EAB vuông tại E