pt nghiệm nguyên

[rinnegan_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

xin các pan giúp mik với, giải pt nghiệm nguyên hệ dưới đây:

[TEX]x+y+z=3[/TEX]
[TEX]x^3+y^3+z^3=3[/TEX]

mik coa 1 cách nhưng dài wa, ai coa cách ngắn giúp nhaz. tks nhìu

 

[hermes_legend]

Ta có: [TEX](x+y+z)^3-(x^3-y^3-z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)[/TEX]
Với x,y,z nguyên và x+y+z=3; [TEX]x^3+y^3+z^3=3[/TEX]

Ta lại có: (x+y).(y+z)(z+x)=8 [TEX]\Leftrightarrow (3-x).(3-y)(3-z)=8[/TEX](1)
Mặt khác: (3-x)+(3-y)+(3-z)=6.(2)
Từ (1) [TEX]\Rightarrow[/TEX] trong 3 số 3-x;3-y;3-z chỉ có 1 số chẵn hoặc cả 3 số đều chẵn.
Từ đó [TEX]\Rightarrow 8=8.(-1).(-1)=2.2.2[/TEX]

Xét các TH ta tìm được tổng cộng 4 nghiệm.

@:chắc cách bạn giống nó.

 

[nhok95_vip]

Trừ từng vế 2 phương trình được
[TEX]x^2 (1-x)+y^2 (1-y) + z^2(1-z)=0[/TEX] (*)
Ta phải CM 1-x, 1-y,1-z đều không âm.
Thật vậy, giả sử [TEX]1-x<0 \Rightarrow x>1\Rightarrow x^2<1 \Rightarrow x^2+y^2+z^2>1[/TEX], mâu thuẫn với giả thiết [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX]
\Rightarrow1-x, 1-y,1-z đều không âm nên từ (*) suy ra
[TEX]x^2(1-x)=y^2(1-y)=z^2(1-z)=0.[/TEX]
\Rightarrow Mỗi số x, y, z hoặc bằng 0 hoặc bằng 1
Từ gt \Rightarrow trong ba số x,y,z có 2 số bằng 0, một số bằng 1