pt nghiệm nguyên

[iluvbigbang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/giải phương trình nghiệm nguyên sau
X^3-y^3=91
2/ cho đa thức f(x) với hệ số nguyên
biết: f(1).f(2)=49
CMR: đa thức f(x) k có nghiệm nguyên

 

[hoangtubongdem5]

1/[TEX]x^3-y^3=91[/TEX] = [TEX](x-y)(x^2 + xy + y^2[/TEX]
Tách ra như như eclipse140790 ấy
Chú ý thêm rằng x^2+xy+y^2 \geq 0 \forall x,y ( vì tách ra đc thành hằng đẳng thức + một số ko âm)
[TEX]\Rightarrow x-y và x^2+xy+y^2[/TEX] đều là các ước dương của 91
ta có [TEX]91=1.91=91.1=7.13=13.7[/TEX]
Nên có các trường hợp sau xảy ra:
* [TEX]x-y=1 ; x^2+xy+y^2=91 [/TEX]
* [TEX]x-y=91 ; x^2+xy+y^2=1[/TEX]
* [TEX]x-y=7 ; x^2+xy+y^2=13[/TEX]
* [TEX]x-y=13 v ; x^2+xy+y^2 =7[/TEX]
Giải từng trường hợp bằng phương pháp thế ( * [TEX]TH_1[/TEX] ta có [TEX]x=y+1[/TEX] =\Rightarrow [TEX](y+1)^2 +y(y+1)+y^2)=91[/TEX] [TEX]\Rightarrow y[/TEX] . Nếu [TEX]y[/TEX] nguyên \Rightarrow [TEX]x , y[/TEX] ko nguyên \Rightarrow loại)
2/
Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là a. Khi đó theo định lí Bơzu, tồn tại đa thức g(x) với hệ số nguyên sao cho:
f(x) = (x - a).g(x)
Từ đó suy ra:
49 = f(1).f(2) = (1 - a)(2 - a)g(1)g(2)
Tức là 49 có 2 ước là hai số nguyên liên tiếp: 1 - a và 2 - a. Điều này không thể xảy ra vì 49 có 6 ước là - 49, -7, - 1, 1, 7, 49.
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.