1. Nhận thấy với [TEX]n=4[/TEX] ta thấy thỏa mãn. Ta đi chứng minh [TEX]n \geq 4[/TEX] thỏa mãn bài toán.
Thật vậy, giả sử điều phải chứng minh đúng tới [TEX]n \geq 4[/TEX].
[TEX]\Rightarrow 2^{n+1}>n^2+3n \Rightarrow 2^{n+2}=2^{(n+1)+1}>2n^2+6n=(n+1)^2+3(n+1)+n^2+n-4>(n+1)^2+3(n+1)[/TEX], điều phải chứng minh đúng với [TEX]n+1[/TEX].
Từ đó theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
2. Ta dự đoán kết quả là [TEX](n-2).180^o[/TEX]
Nhận thấy kết quả trên đúng với [TEX]n=3[/TEX]. Giả sử điều trên đúng với [TEX]n \geq 3[/TEX]
Khi đó, xét đa giác lồi [TEX]n+1[/TEX] đỉnh [TEX]A_1,A_2,...,A_{n+1}[/TEX]. Nối [TEX]A_1,A_3[/TEX] chia đa giác lồi [TEX]n+1[/TEX] đỉnh thành đa giác lồi [TEX]n[/TEX] đỉnh và 1 tam giác.
Nhận thấy tổng các góc trong của đa giác [TEX]n+1[/TEX] bằng tổng các góc trong của đa giác [TEX]n[/TEX] đỉnh và tổng các góc của tam giác.
Từ đó tổng các góc trong đa giác [TEX]n+1[/TEX] đỉnh là [TEX](n-3).180^o+180^o=[(n-3)+1].180^o[/TEX], điều phải chứng minh đúng với [TEX]n+1[/TEX].
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
3. "Nháp: Nhận thấy ta tách được tổng [TEX]S_n=1.4+2.7+...+n(3n+1)=3(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)[/TEX]
Dựa theo công thức đã biết thì [TEX]1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/TEX] nên [TEX]S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}+\dfrac{n(n+1)}{2}=n(n+1)^2[/TEX]"
Ta chứng minh [TEX]S_n=1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)^2[/TEX].
Với [TEX]n=1[/TEX] ta thấy điều phải chứng minh đúng.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với [TEX]n \geq 1[/TEX].
[TEX]S_{n+1}=S_n+(n+1)(3n+4)=n(n+1)^2+(n+1)(3n+4)=(n+1)[n(n+1)+(3n+4)]=(n+1)(n+2)^2[/TEX], điều phải chứng minh đúng với [TEX]n+1[/TEX].
Theo nguyên lí quy nạp thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
