Toán 10 Bất đẳng thức

[hihihahahoneyxx.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn a+b=2. Tìm minP=$$\frac{1}{4a^{2}+2}+ \frac{1}{4b^{2}+2}+\frac{2018}{ab}$$

Câu 2: Cho a,b,c dương.Tìm maxP: P=$$\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+\frac{bc}{b^{2}+bc+ca}+\frac{ca}{c^{2}+ca+ab}$$
Các cậu giải giúp tớ 2 câu này với.Tớ cảm ơn :>

 

[Hanhh Mingg]

câu 2:
$P= \frac{1}{\frac{a}{b}+1+\frac{a}{c}}+\frac{1}{\frac{b}{c}+1+\frac{a}{b}}+\frac{1}{\frac{c}{a}+1+\frac{b}{c}}$
Đăt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}, y=x=\sqrt[3]{\frac{b}{c}}, z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$
Khi đó: $P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$ với x,y,z>0 và xyz=1
Ta có: $x^3+y^3=(x+y)[(x-y)^2+xy]\geq (x+y)xy\Rightarrow x^3+y^3+1\geq (x+y)xy+1\Leftrightarrow x^3+y^3+1\geq (x+y)xy+xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y+z)\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}$
CMTT với 2 cái còn lại ta được: $P\leq \frac{1}{xy(x+y+z)} +\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{xz(x+y+z)}=\frac{1}{xyz}=1$
Vậy max P=1 khi và chỉ khi x=y=z=1 hay a=b=c

 

[Lena1315]

Có $$\frac{2018}{ab}\geq \frac{2018.4}{(a+b)^2}=2018$$
$$\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}) = \frac{1}{2}(2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}) \geq 1- \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{3} \geq 1- \frac{2a+2b+2}{9} = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$
dấu bằng khi a=b=1
Vậy minP = 2018 + 1/3

 

[hihihahahoneyxx.]

Có $$\frac{2018}{ab}\geq \frac{2018.4}{(a+b)^2}=2018$$
$$\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}) = \frac{1}{2}(2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}) \geq 1- \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{3} \geq 1- \frac{2a+2b+2}{9} = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$
dấu bằng khi a=b=1
Vậy minP = 2018 + 1/3

Tớ cảm ơn nhé <3

câu 2:
$P= \frac{1}{\frac{a}{b}+1+\frac{a}{c}}+\frac{1}{\frac{b}{c}+1+\frac{a}{b}}+\frac{1}{\frac{c}{a}+1+\frac{b}{c}}$
Đăt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}, y=x=\sqrt[3]{\frac{b}{c}}, z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$
Khi đó: $P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$ với x,y,z>0 và xyz=1
Ta có: $x^3+y^3=(x+y)[(x-y)^2+xy]\geq (x+y)xy\Rightarrow x^3+y^3+1\geq (x+y)xy+1\Leftrightarrow x^3+y^3+1\geq (x+y)xy+xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y+z)\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}$
CMTT với 2 cái còn lại ta được: $P\leq \frac{1}{xy(x+y+z)} +\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{xz(x+y+z)}=\frac{1}{xyz}=1$
Vậy max P=1 khi và chỉ khi x=y=z=1 hay a=b=c

Tớ cảm ơn nhé <3

 

[hihihahahoneyxx.]

Có $$\frac{2018}{ab}\geq \frac{2018.4}{(a+b)^2}=2018$$
$$\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}) = \frac{1}{2}(2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}) \geq 1- \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{3} \geq 1- \frac{2a+2b+2}{9} = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$
dấu bằng khi a=b=1
Vậy minP = 2018 + 1/3

Có $$\frac{2018}{ab}\geq \frac{2018.4}{(a+b)^2}=2018$$
$$\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}) = \frac{1}{2}(2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}) \geq 1- \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{3} \geq 1- \frac{2a+2b+2}{9} = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$
dấu bằng khi a=b=1
Vậy minP = 2018 + 1/3

Cậu có thể giải thích giúp tớ đoạn này đc k?Tớ k hiểu lắm

 

[7 1 2 5]

$$2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}=2-\frac{2a^2}{a^2+a^2+1}-\frac{2b^2}{b^2+b^2+1}\geq 2-\frac{2a^2}{3\sqrt[3]{a^4}}-\frac{2b^2}{3\sqrt[3]{b^4}}=2-\frac{2\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{b^2}}{3}$$

 

[hihihahahoneyxx.]

$$2-\frac{2a^2}{2a^2+1}-\frac{2b^2}{2b^2+1}=2-\frac{2a^2}{a^2+a^2+1}-\frac{2b^2}{b^2+b^2+1}\geq 2-\frac{2a^2}{3\sqrt[3]{a^4}}-\frac{2b^2}{3\sqrt[3]{b^4}}=2-\frac{2\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{b^2}}{3}$$

Oh thì ra là thế. Tớ cảm ơn nhiều nhé

 

[ankhongu]

Câu 1: Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn a+b=2. Tìm minP=$$\frac{1}{4a^{2}+2}+ \frac{1}{4b^{2}+2}+\frac{2018}{ab}$$

Câu 2: Cho a,b,c dương.Tìm maxP: P=$$\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+\frac{bc}{b^{2}+bc+ca}+\frac{ca}{c^{2}+ca+ab}$$
Các cậu giải giúp tớ 2 câu này với.Tớ cảm ơn :>

Cách 2 bài 1 :
$$\frac{1}{4a^2 + 2} + \frac{1}{4b^2 + 2 } + \frac{\frac{16}{9}}{8ab} + \frac{\frac{18160}{9}}{ab} \geq \frac{(1 + 1 + \frac{4}{3})^2}{4(a + b)^2 + 4} + \frac{\frac{18160}{9}}{\frac{(a + b)^2}{4}}$$