Toán 10 Phương trình nghiệm nguyên

[oanh6807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$.
Mong được giúp đỡ ạ!

 

[7 1 2 5]

Nhận thấy $((p-1)!,p)=1$ nên $p[(p-1)!]^p \vdots p$ và $p[(p-1)!]^p \not vdots p^2$
Từ đó $x^p+y^p \vdots p$ và $x^p+y^p \not vdots p^2$
Nếu như $x \vdots p$ thì $y \vdots p$
$\Rightarrow x^p+y^p \vdots p^p \vdots p^2$(mâu thuẫn)
Từ đó $x \not \vdots p \Rightarrow y \not \vdots p$
Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì $x^p \equiv x, y^p \equiv y(\mod p)$
$\Rightarrow 0 \equiv x^p+y^p \equiv x+y (\mod p)$
Áp dụng bổ đề LTE ta có $v_p(x^p+y^p)=v_p(x+y)+v_p(p) \geq 2$ nên $x^p+y^p \vdots p^2$
Vậy tóm lại không tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn đề bài.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG